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수학선행... 반드시 필요한 이유와 필요치 않은 이유

 

(원글 주인 : 인사이트 수학 저자 김영규)

 

학부모님들의 초미의 관심사가 수학선행에 대한 것이라 생각되어, 수학공부의 큰 틀에서의 이해를 위해 이 글을 씁니다.

 

글의 제목에 언급한 것처럼 선행이 너무도 중요하다는 주장은 무슨 근거 때문이며, 절대로 중요하지 않다는 주장은 또 무엇이며, 그 의미는 이 글을 끝까지 읽으시며 그 뜻을 헤아려 보시면, 저절로 결론에 도달하게 될 것입니다.

 

다른 학문도 다 그러하겠지만, 수학을 잘 하기 위한 방법으로의 궁금증과 그 바른 대책을 위하여는 최소한 수학이란 무엇인지, 그 본질적인 특성이 어떤 것들이 있는지를 모르고서는 결코 바른 수학공부로의 접근은 어렵다고 생각되어 먼저 서두부터 써 볼까 합니다.

 

수학은 인문과학에서 사용되는 한글이나 영어처럼 우리가 인지할 수 있는 어떤 것들에 대한 대체수단으로써의 문자기호라는 공통점을 갖고 있습니다.

곧 문자기호나 음성기호로써의 보편적인 기능을 말합니다.

그런데, 국어로서의 언어인 문자기호와는 많은 부분이 기능적으로 다르기에, 최소한의 이해는 반드시 필요할 것입니다.

 

문자로써의 기능 중 많은 부분 어쩌면, 거의 전부라 할 만큼 대부분의 기능은 우리가 살면서 늘 부딪히고 이해관계가 얽혀있는 자연의 현상과 관계가 있습니다.

 

자연의 많은 현상들에 대한 표현의 수단으로써의 기능으로만 쓰인다면, 어쩌면 국어의 기능으로 조금 불편함이 있거나 부족한 일부를 대체하는 기능으로만 쓰일지도 모릅니다.

 

그 차이는 바로 "수" 나 "수식"의 기호는 국어로써의 기능보다 철저하고도 완벽하게 논리성을 바탕으로 그 목적성과 필요성에 근거하며, 그러한 필요의 충족을 위해 인간이 만든 또다른 숫자기호 내지는 수식기호가 바로 수학이라는 학문이기 때문에, 국어공부와는 많은 부분 접근방법에서 큰 차이를 갖고 있습니다.

 

수학도 일정부분 암기라는 주장을 펴시는 분들께는 그 의미를 어디에 두고 하는 주장인지를 묻고 싶은 부분이기도 합니다.

 

즉 국어적인 접근 방법으로는 수학을 이해할 수도 없거니와, 혹여 이해하였다고 하더라도, 그것은 수학을 이해한 것이 아니라, 단순히 기호를 암기하였거나, 간단한 공식을 암기한 것에 불과한 것입니다.

 

수학은 그 기능이 철저히 논리적인 바탕에 근거하여 만들었기 때문에, 논리학이라 합니다.

 

국어로써의 문자기호로도 얼마든 논리성을 추구할 수 있을 법도 하지만, 이를테면, 방안이 어두워도 국어로의 기능으로는 아무리 세밀하게 표현을 하더라도 어둡다, 좀 더 어둡다, 많이 어둡다,...수많은 수식어를 붙여도 그 정도가 얼마인지는 알 수가 없는 것입니다.

간단히 몇 럭스라하면 아무리 세분화된 어둡기의 차이라 하여도 표현이 되는 것입니다.

 

왜 이런 기능적인 차이가 있을까요?

 

그 이유는 "수"라는 기호가 그자체 논리적이기 때문입니다. 0.1, 0.01, 0.001,...이러한 기호의 표현방법 자체가 처음부터 논리성에 입각하여 만들었기 때문입니다.

 

그런데, 그렇게 세분화된 기능으로의 필요는 일상의 생활 중 밥을 몇 번 먹는다든지, 물건을 몇 개 산다든지 하는 경우처럼 단순한 경우도 있지만, 그러한 것이 무수히 반복되고, 그 양이 엄청나다는 가정을 하게 되면 국어로써의 문자기능으로는 대단히 불편하고 어쩌면 표현자체가 불가능할지도 모릅니다.

 

그러한 논리성의 추구는 일상의 일에서도 얼마든 발견될 수 있지만, 자연의 현상으로 눈을 돌리게 되면, 우리가 인지할 수 있는 거의 대부분의 대상은 철저히 논리적인 접근에 근거하지 않으면, 이해하기도 추론하기도 어려운 것이 대부분일 것입니다.

 

따라서, 수학의 모든 이론은 그 쓰임부터가 자연의 무한한 어떤 현상들에 대하여, 보다 쉽고 정확하게 이해하고, 필요에 따라서는 도구로써의 이용 목적에 부합될 수 있도록 더욱 철저한 논리성으로 구성되어 있기에, 수학을 공부하는 한 반드시 두 가지의 목적성을 이해하는 것은 매우 중요합니다.

 

수학이 갖는 가장 큰 특성은 논리성이기 때문에, 한편으로는 논리학이라고도 말합니다. 정확히는 논리학과 수학은 학문으로써의 장르가 구분되지만, 기능으로서의 논리는 같기 때문입니다.

 

논리학 즉 논리의 logic 이란 사전적 의미로는 "말이나 글의 줄거리를 이루는 이치 또는 법칙들"일텐데, 아이들이 이해하기엔 너무 난해합니다. 곧 "어떤 사실들의 상호관계가 일관되게 성립하게 하는 법칙들"정도일 것입니다.

 

그러기에 수학을 공부하는 한 가장 먼저 그 logic을 구성하고 있는 기호의 정의를 익히고, 그 논리적인 바탕을 이해하는 것은 당연한 순서일 것임니다.

기호에 대한 정의나 기본적인 논리의 이치를 총체적으로 우리는 개념이라 합니다.

 

모든 학문을 공부할 때는 당연히 개념을 이해하는 것은 기본이고 우선과제 이지만, 수학은 그렇게 공부한다고 하여 수학이라는 학문의 목적에 부합되는 결과를 얻기는 어렵습니다.

 

수학은 자연의 현상을 이해하는 정도를 넘어서, 우리가 미처 경험하지 못한 사실들에 대하여, 그 논리성에 입각한 추론이 가능한 학문입니다.

 

휴가를 떠날 때, 가보지 않은 낯선 곳에도 지도를 보거나, 네비게이션의 정보를 따라 가지만, 그 지도는 강태공들이나 고고학자들이 물고기나 오래된 비문을 탁본 뜨듯이 한 그림을 축소한 것이 아니겠지요.

 

그것은 수학이라는 논리에 입각하여 그려보지 않은 것들에 대한 추론의 결과이며, 그 결과물을 신뢰하고 따라가보면 추론의 결과는 정확이 맞다는 결론을 얻게 되는 겁니다.

 

달나라에 미리 가본 경험이 있어서 가는 것이 아니라, 가보지 않고서 수학의 어떤 논리성에 입각한 추론의 결과를 믿고 가 보았더니 그 추론은 정확히 맞아 떨어진다는 놀라운 사실들입니다.

 

그러기에 그 추론하는 능력을 배양하는 것은 수학을 배우고자 하는 목적 중 반드시 우리가 얻어야 할 능력인제, 그러한 추론의 능력을 수학적사고력이라 합니다.

일반적으로 사고력이라는 말을 하지만, 그 생각하는 힘이 논리에 근거하는 생각의 힘 일 때를 특별히 구분하여 수학적사고력이라 하는 것입니다.

 

따라서 수학을 공부하는 한 기본적인 로직에 대한 이해 즉 개념의 정확한 이해와 더불어 수학적 사고력을 동시에 배양하는 공부에서 벗어날 때는 그 공부는 지극히 비수학적이고 목적성에 부합한 결과를 얻기도 어렵고, 설령 얻었다 하더라도 극단적으로 비효율적인 방법이므로 무진장한 에너지와 시간의 낭비가 수반되는 것입니다.

 

아이들이 수학공부를 하다가 많은 경우, 개념이해가 충분한데도 불구하고, 수학적 사고력이 떨어져서 문제해결을 못하는 것을 봅니다.

 

수학은 기본적인 개념이해로 문제해결이 되는 학문이 아닙니다.

문제 해결을 위하여는 개념이해와 별개의 어떤 능력이 또 요구되는데, 그것을 발상이라 합니다.

 

아주 쉽게는 문장제의 소금물의 농도문제가 주어져도, 어떤 아이는 농도로 접근을 하고, 또 어떤 아이들은 소금의 량으로, 또 어떤 아이들은 소금물의 량으로 접근을 합니다.

 

이러한 접근법의 해법은 따로 있는 것이 아니라, 이론이 아니라, 문제를 분석하며 지극히 자연발생적으로 이렇게 하면 되겠구나하고 생각을 해야하는 것입니다.

즉, 농도에 관한 기본이론을 이해하면, 그 쓰임에 관한 것은 이제부터 이론이 아니라 생각의 힘으로 접근을 해야하는 것입니다.

 

이러한 발상법의 능력이 배양되기 위하여는 항상 수학적사고력, 즉 논리적인 접근을 습관화 하여야 하는데, 그 기본이 바로 기본적인 개념을 이해 하고나면, 그 개념을 충분히 다른 조건들의 변화에 대하여 스스로 추론해 보고, 또 다른 어떤 논리성이 성립하는지 따져보며, 일관된 어떤 새로운 규칙이 발견되면, 또 다른 규칙은 성립하는 것이 없는지 끝없이 새로운 논리에 대한 결과물을 얻어보는 것입니다.

 

기본개념으로부터 파생되는 또 다른 규칙이나 법칙성 내지는 부수적으로 얻을 수 있는 어떤 논리성에 대한 확장을 개념확장이라 합니다.

 

수학이 논리학이고 그러기에 기본개념만 철저하면 될 듯 하다가도 처음보는 문제나 매우 발상이 요구되는 문제 앞에서 꼼짝을 못하는 이유가 바로 개념확장에 대한 습관의 부재로, 미루어 짐작하는 능력, 즉 추론하는 능력, 더 엄밀히 수학적사고력이 떨어져서입니다.

 

따라서 수학공부는 반드시 지켜야 할 원칙이 있습니다.

 

그 첫째는 기본개념의 철저한 이해이며,

둘째는 파생되는 여러가지 조건들의 변화에 대한 추론, 곧 개념확장입니다.

 

기본 개념은 궁극적으로는 자연의 어떤 현상들과 연계성이 있으며, 그러기에 그 쓰임이나 이론의 근거가 될 바탕지식 또는 배경지식을 함께 생각하며 공부하지 않으면, 수학이 아니라 단순히 숫자놀이만을 하고 끝나게 됩니다.

자연과학을 공부하러 대학에 갔더니만, 수학으로 도배된 내용이 이해가 되질 않는답니다.

 

어려워서라기 보다 무슨 소린지를 모르겠답니다. 정말 많은 아이들이 그렇게 말합니다.

 

그것은 곧 모든 이론이 자연의 어떤 현상들을 해석하고, 그 연계성에 의해 어떤 목적성을 갖고 만든 이론들인데, 그 바탕된 배경에 대한 근거를 한번도 따져보지 않아서 입니다. 그러니 당연히 그 쓰임에 대하여는 능력부재가 어쩌면 당연할지도 모릅니다.

 

학년에 따른 교과편재는 바로 이러한 수학의 본질에 입각하여 생각하여야 할 일들이 무수하고, 그 정도의 나이에는 이만큼의 생각을 뛰어넘는 것이 보편적으로 힘들다는 수학자들의 생각과, 또 수학만을 공부하는 것이 아니므로 다른 과목에 대한 시간적 에너지적 여러가지 사항들을 모두 고려하여 만들어진 책입니다.

 

한국의 학생들이 그렇게도 빠른 진도를 나가서 이해하는 수학이라면, 우리나라 교과서는 진작에 편제를 바꾸어야 하나, 미국이나 영국 등 유럽지역 교과서에 비하여는 오히려 조금 어렵게 편성되어 있고, 가까운 일본이나 중국같은 나라와 비교하여도 우리나라 수학책이 결코 쉽게 만들어져 있지 않습니다.

 

그만큼 다른 나라에서도 그만한 충분한 이유에 근거하여 만든 교과 편제를, 6개월만에 2년치를 뚝딱 해치웠다는 아이들이 수두룩한 것은 우리나라가 천재들의 천국이거나, 수학은 고사하고 숫자놀이만을 하고 있던가, 수학을 국어같이 암기하던가 그 어느 하나는 분명한 진리일 것입니다.

 

중1아이가 10과정을 거의 뗐답니다. 워낙 진도가 빠른 아이들이 많다 보니 놀랍지도 않습니다. 아이가 그만한 진도를 나가서 다른 곳에서 추앙 받다보니 시건방이 말이 아닙니다. (정확히 제가 보는 견지에서는 엄청난 시건방 중에 시건방입니다)

 

함수를 배웠냐고 물었습니다. 배웠답니다. 함수를 풀 줄 아느냐고 물었습니다. 잘 푼답니다. 해서 또 물었습니다. 함수가 도대체 뭐냐고?... 대답을 못합니다. 평면위에 일대일대응 되는 무수한 점들을 무작위로 찍어서 보여줬습니다. 함수냐고 물었습니다. 묻는 말을 이해하지 못합니다 .

 

f(x), f(x), f(x,y)는 각각 무엇을 뜻하느냐고...대답을 못합니다. f(a)=2x-3a+1에서 기울기가 얼마냐고 물었습니다. 2라고 틀린 대답을 합니다.

 

정말 웃기는 것은, 함수를 배웠습니다. 함수를 풀 줄은 압니다. 그런데... 그 함수라는 게 뭔지를 모릅니다. 모르는 것을 배웠고, 모르는 것을 풀었고... 하여간 풀었다라는 상황에 있습니다. 무엇인지도 모르는 그 무엇을 말입니다.

 

정말이지 학년에 걸맞지 않게 진도 많이 나간 자녀를 두신 부모님들은 반드시 한 번 체크해보시기 바랍니다.

 

1. 함수가 무엇이냐 2. 왜 배우느냐 3. f(x), f(x), f(x,y)가 어떻게 다른지....

함수의 가장 기본입니다.

 

수학이 제대로 될려면, 기본개념의 이해가 우선입니다. "했다"가 아니라 "알았다"이어야 합니다.

 

간혹 아래학년 것을 대충 알고 윗 학년 것을 미리 배우면, 과거에 어렴풋했던 개념이 쉽게 이해된다고 하는 분들도 있습니다.

그것은 개념이 쉽게 이해 된 것이 아니라, 개념이 단순하게 암기되는 것입니다.

 

또 하나 질문을 던져 봅니다. 혹여 자녀들 중 중1이 9과정이나 10과정을 배운 자녀가 있으시면,

4=(1/2)x8로 주고, 1/2이 4의 약수인가 물어보세요.

또 100은 0의 약수인가도 물어보세요.

숫자 5에 지수 1/3을 올려놓고 뭐라 읽는지 읽어보라 해 보세요.

1/(a^4) 분모는 a의 4제곱입니다. 이식은 몇차식이냐고도 물어보세요.

 

기본개념을 배울 때부터, 충분히 변화된 조건에 대하여 개념확장을 해 보고, 기본개념의 이해와 더불어 발상의 능력도 반드시! 함께 길러줄 때, 스스로 추론해본 어떤 결론들은 학년이 올라가서 여기에 있었구나를 발견할 때도 많이 있고, 이 때, 단순히 공식 몇개 암기하여 답 맞힌 기분과, 배우지 않은 것들에 대한 추론의 결과를 눈으로 확인하며 느끼는 그 기쁨은 해 본 아이들만 알 것입니다.

그 짜릿한 수학의 묘미를...

 

수학이 신비하고 위대하며 아름답다고 하는 이유가 바로 경험치 않은 그 어떤 것들에 대한 추론능력의 힘이며...

그 본질적인 맛을 알게하는 방법은, 또박또박 정확히 개념을 이해하고, 최대한 그 개념을 확장해 볼 때, 개념의 완전한 이해는 물론이고, 발상법 또한 동시에 길러지는 것입니다.

 

단순암기한 기본 개념은 시간이 지나면 잊어버리게 됩니다.

 

배운 것을 어떻게 다 기억하느냐, 배운지 오래되서 까먹었다는 얘기는 논리에 입각하여 이해한 것이 아니라, 단순 암기한 것이며, 논리가 결여된 단순 암기는 일정시간 경과후 당연히 뇌의 망각이라는 기능 때문에 잊어버리게 됩니다.

 

이러한 공부방법으로 수학을 하게 되면, 선행의 필요성이 그만큼 중요해질 수 밖에 없는데, 그 이유는, 개념부터 일정시간이 지나면 까먹었으니 다시 암기해야 하고, 문제를 풀 때 발상의 능력이 떨어지므로 조금만 비틀어 놓은 문제는 풀지를 못하니, 비슷한 유형이나 패턴화된 문제들을 다량으로 풀 수 밖에 없으며, 그 비효율의 공부는 엄청난 시간을 요구하게 되고, 수학 한 과목만 배우는 것도 아니니 만약 다른 과목도 그러한 방법으로 공부를 한다면, 아마도, 수학에 필요한 시간들을 역산하여 내려가면, 어쩌면, 초등 4,5 학년 때, 반드시 중등과정을 모두 배워야 하는 엄청난 선행이 필연의 방법이 될 수밖에 없는 것입니다.

 

기본개념부터 꼼꼼히 따지고, 암기가 아니라 이해하는 수학으로 공부하고, 충분히 그 개념의 확장을 습관화 해 보는 방법을 택하는 아이들은 결코 했던 것을 몇 번이나 반복하지 않습니다.

 

또, 개념확장을 통해서 추론해보는 과정에서 얻어진 수학적 사고력 내지는 발상의 능력은 패턴화된 문제나 유형을 익힐 필요가 없으며, 새로운 발상의 힘이 있기에 처음보는 문제든 풀어본 문제이든 그 발상의 힘으로 인하여 풀게 됩니다.

모든 학생들이 물론 어떠한 문제가 나와도 무조건 다 풀 수 있다는 것은 아닙니다. 하지만 적어도 웬만한 깊이의 문제들은 풀어냅니다.

 

중학교 자녀분들을 두신 부모님들 중에 혹여 심화하시겠다고 에이급문제 스텝에이 풀렸더니 못푸는 문제가 수두룩하여, 단계를 밟아야 하는 줄 알고 쉬운 책 몇 권 풀게 한 후 다시 풀리면 어떻습니까?

 

틀린것은 정확히 또 틀리게 되는데, 문제 푼 량이 작아서 그런가보다하고 서점가서 왕창 책을 사서 풀게 한 후 다시 풀려 보면, 역시 못푸는 문제 그대로 못풉니다. 학원에서 푼 것, 또는 학교에서 풀었던 문제, 혹은 에이급에 못풀어서 누구로부터 설명을 듣거나 풀이를 역으로 보고 푼 경우, 일정시간이 흐른 뒤 다시 풀게 하면 역시 또 걸립니다. 그러니 안 걸리게 항상 풀 수 있도록 할려면, 아마도 어렵다는 문제는 모두 쌓아놓고 밤새 틈나는대로 풀어야 할 것입니다.

 

학교시험 끝나고 계단을 헐레벌떡 뛰어 올라옵니다.

선생님, 저번에 학원에서 풀었던 그 야릇한 문제 시험에 나왔어요.

저...학교시험 나올거라고 예측해서 기출문제 풀리거나 찍어준다거나 그런거 질색인 사람이지만, 기왕 그 야릇한 문제가 나왔다고 호들갑을 떠는 것을 보면,

다들 그 문제에서 좌절했으니 대박터졌다 싶었는데...

자기도 틀렸답니다. 그럼 그런 말을 하지를 말지.. 녀석은 선생님까지 은근히 기대하게 만들어놓고 결론은 틀렸답니다.

 

앞의 이야기로 되돌아가면, 이러한 현상은 모두 세 가지 정도의 문제 중 하나일 것입니다.

 

첫번째는 그 문제를 풀기 위하여 필요한 보다 깊은 개념이 있는데 그 개념까지는 이해하지 못하고 있거나,

둘째는 특별한 발상이 필요한데 발상력의 부재이거나

아니면,

마지막으로 선천적으로 타고난 수학적 그릇이 너무 작아서 깊은 개념도 이해하는 능력이 모자라고 발상력도 근본적으로 아주 떨어지거나 입니다.

 

따라서, 문제해결은 어떤 경우든 학생이 스스로 해결해 보아야 하고, 숙제하다가 도저히 풀지 못하여도 궁금해서 미쳐 돌아버릴 같아도 풀이는 절대 보지말라 엄하게 다스립니다. 심하게는 차라리 그 문제 해도해도 안되면 풀지말고 버리라고 할 만큼 남의 풀이 따라 가보기 하지 말라합니다.

 

그것은 어디까지나 남의 풀이를 컨닝하는 것이고, 그 한문제 안풀고 버렸다가 학교시험에 나와서 문제하나 틀릴지언정, 잘못된 버릇 안들게 하는 것이 훨씬 더 중요하기 때문입니다.

 

주제의 결론을 내려봅니다.

 

개념을 철저히 이해하고, 암기가 아닌 논리에 근거한 공부와, 개념확장의 습관을 몸에 배이게 하는 아이들은 절대 많은 선행 필요치 않습니다.

 

그 이유는 개념을 암기하지 않고 이해하고 있기 때문에 망각의 기능으로 잊버리지 않으며, 발상의 능력이 크기 때문에 풀었던 문제 내지는 유형별로 패턴별로 모아놓은 다량의 문제집 풀지 않습니다.

 

개념 이해를 "했다" 를 "안다"로 착각하고, 특히 엄청난 수업량에 귀동냥하는 수업으로 개념확장에 대한 습관을 길들이지 못하는 공부는 수학적 발상력이 떨어지고, 풀어보지 않은 조금만 심화된 문제는 걸리게 되어서 그러한 심화문제를 찾아다니며, 다량 풀 수 밖에 없고, 이해가 아닌 개념의 암기는 곧 망각으로 이어지며, 이 둘다를 해결하기 위한 방법은 반복학습의 엄청난 시간이 요구되어 선행은 반드시 필요하다가 될 것입니다.

 

어떤 방법을 택하느냐는 각자의 몫이지만, 적어도 왜 그런 현상이 일어나는지를 아는 것은 중요하고, 어느 방법을 택하던 원인을 알면 처방도 가능한 것이니, 최대한 그 선택된 방법에서 지혜를 찾으시면 되지 않을까 합니다.

 

수학은 논리학입니다.

그러기에, 그 어떤 학문과 달리 한다고 되는 과목이 아닙니다.

아주 단순하고 논리가 복잡하지 않은 부분이야 노력의 여하에 따라 비슷하게 다 해 낼수 있습니다. 그러나, 조금만 심화된 개념이나, 심화된 문제에서는 결정적으로 선천적인 능력에 지배됩니다.

후천적으로 변화의 여지가 많지만, 워낙 선천적인 그릇의 크기에 비하여 그 변화의 정도가 미미하게 때문입니다.

 

선천적인 그릇은 이미 타고난 뇌세포의 량(적어도 6,7세 이전까지 증가된 양)과 그 뇌세포의 활동성에 따라 좌우되지만, 뇌세포의 양으로만 본다면 사실 아주 중요한 시기를 이미 놓친 것입니다.

 

그러나, 뇌세포의 량이 많지 않더라도 그 활동성에 따라 뇌가 작용하는 능력은 상당히 달라지기 때문에, 최대한 뇌를 자극해주는 방법이 무엇인가를 생각하여, 후천적으로 할 수 있는 한계치까지만이라도 개발해 줄 수만 있다면, 그것이 최선의 교육이 아닌가 감히 생각합니다.

 

그러기에 항상 무한정의 한계치를 뛰어넘은 목표는 실현이 불가능한 목표이며, 특히 특목고를 준비할 학생들이라면 더욱 더 무슨 방법론에서 찾는 것 보다 가장 먼저 아이의 그릇을 냉정히 분별하여 이 길이 아이에게 과연 맞는 길인지를 부모님들이 냉정하게 이끌어주는 지혜가 필요할 것이라 생각합니다. 끝.

 

 

..........................이하 주절주절 주관적인 제 의견입니다........

 

ㅇ저는 제 자식 공부와 관련하여 학교, 학원, 인강 등 어떤 형태의 공부방식이든 먼저 배울 단원을 스스로 읽어보고(예습), 가능하면 문제를 풀어보는 방식을 고수하고 있습니다. 얼마나 틀리고 맞는 것은 처음에는 중요하지 않습니다.

 

이유는 예전에 올린 글에 있듯이(정석저자 홍성대씨의 견해 : 복습보다 예습이 중요하다) 타인(외부)으로부터의 배움이 있기 전에 내가 스스로 학습(경험)할 수 있는 소중한 기회를 잃지 않기 위해서입니다. 예습이든, 선행이든 스스로 먼저 해봐야 아는 게 무엇인지 모르는 게 무엇인지, 어려운지 쉬운지, 과거의 개념과 어떻게 연결되는 것이 무엇인지 알 수 있는 것입니다.

 

그 과정에서 발생한 궁금증과 답답함을 외부로부터 배울 때 이해하고 깨닫는 과정(“아하”라는 깨달음)으로 연결되고, 그 다음에는 그 유명한 까먹기 전 복습, 주기적 복습을 통한 익숙하고 능숙한 수준에 도달하기까지의 복습(연습)입니다.

 

제 생각에 수학은 이해 정도로는 안됩니다. 각각의 주요 개념과 정의, 공식에 대하여 깨달음의 경험이 없는 공부는 힘들다고 봅니다. 이해의 단계를 넘어서 깨달음을 얻어야만 수많은 공식을 외울 필요 없이 자유롭고 빠르고 정확하게 직관적인 문제풀이가 가능합니다. 상당 수준의 연습내지 복습이 이루어지면 중학수학은 90% 정도, 고등수학은 70% 정도 암산으로 문제를 풀 수 있습니다. 2년 동안 제 아들의 수학공부 과정을 지켜본 경험이 그렇습니다.

 

ㅇ 인간의 두뇌는 결핍이 없는 상태(무엇인가 외부로부터 강제로 채워진 상태)에서는 호기심, 궁금증, 스스로 알고자하는 지적노력이 생길 수 없습니다.

 

만약 자녀분들이 무기력하다면 부모님들께서 자녀분들의 깨어있는 시간 모두를 무엇인가로 꽉 채워주신 것이 아닌지 곰곰이 생각해 보십시오. 자녀가 결핍을 느낄 수 없는 생활이 일상화되어 있다면 앞으로 큰 기대를 하지 않는 것이 정신건강에 좋습니다.

 

물에 흠뻑 젖은 수건으로 방바닦을 아무리 닦아도 소용없습니다. 이미 포화상태인 설탕물, 소금물에 아무리 설탕, 소금을 넣어도 더 이상 녹지 않습니다.

 

수많은 학원순례를 통하여 끊임없이 선행을 하고, 틈만나면 왼손에는 스마트폰, 인터넷게임으로 꽉찬 머릿속에 호기심, 궁금증이 있을리 만무하고, 공부는 학원가서 하는 것으로 생각하고, 그것도 출력이 없는 끊임없는 입력(학교,학원,인강)으로 10년을 반복하면, 중학교 때 성적수준 유지는 고사하고 갈수록 계속 성적은 내려갈 것입니다.

 

ㅇ 초등 6학년, 중1이 고1,2 수학을 하더라, 미적분, 기하벡터를 하더라는 소문에 더 늦기 전에 우리아이도 선행시켜 경쟁에서 뒤처지지 말아야지 하는 순진한 생각으로 학원상담가서 죄인인양 “제가 무지했습니다” 라는 고백과 “선행이 답이다”라는 결론으로 되돌아 나오면 그 무지의 상태는 결코 해소되지 않으며 본격적인 아이 수학인생, 아니 대학입학 공부 전과정이 꼬이기 시작하는 것입니다.

 

물론 지금 시점에 중3이 고1 수학1, 2 수학공부하는 것은 선행이 아니고 예습하는 것이기 때문에 이상한 것은 없습니다. 문제는 중3이 고1학년 수1, 수2 선행나가는데 “어렵다고 느낀다” 거나, 3회 도전해서 “공부하는 기본서의 문제 중 80%이상 안풀린다”면 문제가 있다는 점을 강조합니다.

 

ㅇ 다음 기회에 초등입학 전 초등학교, 중학시기의 독서, 수학공부에 대하여 자세한 글을 써보고자 합니다. 어떻게 하면 수학, 영어에서 뒤처지지 않고 여유있게 공부할 수 있는지 약간의 경험을 공유해보고자 합니다. 그동안 공부한 자료들을 종합하면 근본적인 문제는 초등학교 시절부터 시작된다고 봅니다. 특히 초등3학년이 시작점입니다.

 

ㅇ 저는 개인적으로 인사이트 수학 저자 김영규 선생님 말씀에 100% 공감합니다. 제 아들도 이분 교재로 중학수학 심화 및 고등과정 상당부분 선행을 스스로 해왔고, 하고 있습니다. 예전에 상위 성적 10%이내 학생들에게 이분 교재 도전해 보라고 추천드렸는데 제 아들 하는 것 보니까 적어도 5%이내는 되어야 할 것 같습니다. 쉽지 않은 책입니다. 난이도로 굳이 표현하자면 에이급, 최상위 문제집이 통상 4~6.5정도로 구분하는데 이 책은 난이도 6~8(9)이 대부분입니다. 개념확인 문제가 에이급 수학 스텝b정도입니다. 아무나 도전할만한 교재는 아니라는 것을 미리 말씀드립니다. 특히 스스로 하는 독학교재로 사용할 경우 레벨 2단계를 80%정도까지 소화한다면 수학 상위 1%는 거의 확신합니다.

 

ㅇ 여러분 자녀한테 한번 물어 보십시오

“영어가 어렵냐?” “ 중학수학 어렵냐?”, 만약 고등수학 선행하면 “고등수학 어렵냐?”

만약 대답이 “어렵다”, “이해가 잘 안된다”라는 대답이 나오면 현재시점~과거의 공부방식의 문제점과 축적된 지식이 머릿속에 제대로 얼마나 쌓여 있는지를 심각하게 고민해 보셔야 합니다.

 

그리고 선행이 아닌 후행학습, 현행과정의 심화가 필요하다는 결론과 해결책을 강구하셔야 합니다. 그럼에도 불구하고 계속 선행나가시면 90%정도 결국 실패합니다.

 

ㅇ 학부모 및 학생들 공부할 내용 : 제발 알려주는 대로 따라 좀 하세요

링크해 드리는 것 순서대로 역순 컬러출력 하여 제본하여 3회독 정도 정독하세요.

인터넷 화면으로 대충읽고 이해했다고 생각마시고 인터넷으로 한번 정독하고 출력

제본하여 향후에도 계속 활용한다는 자세로 겸손하게 읽으시기 바랍니다.

공부도 종합예술이라 이것저것 알아야 할 것이 한두 가지가 아닙니다.

 

이런 정보들이 학부모 학생에게 쌓여야 생각이 바뀌고 행동이 바뀝니다.

익숙한 것들과의 결별이 글 몇편 읽고 책 몇권 읽는 것으로는 쉽게 되지 않습니다.

 

- 한겨레 사이언슨 온 - 인지과학으로 푸는 공부의 비밀(21편)

http://scienceon.hani.co.kr/?mid=media&category=178&page=1

- 글이 작품이 되는 공간 브런치 대상수상작 - 교육컨설팅(44편)

https://brunch.co.kr/magazine/study

- 글이 작품이 되는 공간 브런치 대상수상작 - 민사고 수석의 공부이야기(12편)

https://brunch.co.kr/magazine/studysmart

 

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