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중학교 수학과 고등학교 수학을 연결하려면? (1)

 

작성자 강남 최선생

 

요즘에는 시대가 시대인지라 자식의 교육, 특히 주요과목인 수학에 대해서는 대부분의 어머님들이 엄청난 관심을 갖고 있는 까닭에 선생님들과 어머님들의 대화가 상당한 수준에 이르렀지만..

 

제가 처음 아이들을 가르치기 시작한 10여년 전만 해도 중학교 수학과 고등학교 수학은 마치 커다란 벽이 있는 양 구분하여 생각하는 학부모님들이나 학생들이 많았습니다.

 

중학교 수학은 학교 공부만 잘 따라가도.. 또는 학원 하나 열심히 다니면.. 어렵지 않게 쫓아간다. 하지만 고등학교 때부터는 수학이 어려워지므로 정석이라도 미리 사두고 집에서 풀려야 된다. 또는 우리 애는 중학교 때까진 수학을 잘 했는데 고등학교 올라가니 수학 실력이 많이 떨어져서 수학을 싫어한다. 중 3 때부터 선행을 시켰어야 했다. 등등.. 십년 전만 해도 이와 같은 얘기를 당연한 듯 하시는 부모님들이 많으셨죠..

 

하지만 실제로는 중학교 수학과 고등학교 수학이란 마치 나선형의 계단 구조와 같이 점차적으로 올라가며 점진적으로 수학 실력을 쌓도록 설계되어 있기 때문에, 중학교 때 잘하던 아이가 고등학교에 들어와서 갑자기 수학실력만 떨어질 수는 없으며.. 고등학교 때부터 수학이 갑자기 어려워진다는 것은 그야말로 편견이며 오해라고 할 수 있습니다.

 

그래서 이번 글에서는 고등학교 수학에 대해서 갖고 있는 오해와 편견을 풀어보고 중학교 수학에서 고등학교 수학을 연결하려면 어떤 식으로 공부하는 게 좋을지 고등학교 수학 선행을 앞둔 예비 고등학생 및 현 중학생을 기준으로 얘기해보고자 합니다.

 

제가 쓴 지난 글에서 밝혔듯 우리나라의 중학교 수학 교육과정은 1학기와 2학기가 큰 틀 안에서 따로 움직입니다.

 

그래서 무조건적인 선행보다는 분류에 따라 전반적인 내용을 선행한 뒤(지난 글: 중학교 수학에서 선행이란?(1)을 참조) 다시 1-1, 2-1, 3-1 이렇게 정리하고 1-2, 2-2, 3-2또 이렇게 정리하는게 아이의 선행에는 도움이 된다고 하였습니다. 그리고 덧붙여 가장 바람직한 선행은 제 학년에서 한 학기 내지 한학년 정도 앞선 과정이라고 보여진다고 했구요.

 

여하튼.. 대부분의 학부모님들과 학생들이 중학교에서 상위권 학생이라면.. 그리고 평범한 학생도 중 3쯤 되면 고등학교 수학에 대한 선행의 필요성을 느끼는데요.

 

우선 1차적으로 분류하고 넘어갈 것은 아이가 문과 성향인지.. 이과 성향인지.. 에 관한 것입니다. 제가 직접 가르치며 가까이서 아이들을 본 결과 가장 안타까운 경우가 단순히.. 난 사회보다는 과학이 좋아.. 하면서 이과를 온다거나.. 난 책 읽는 걸 좋아해.. 하면서 문과를 간다거나.. 하는 경우입니다.

 

문, 이과의 가장 큰 차이는 우리나라 수업시수와 시간표의 차이로 볼 때 수학과목에 있습니다.

 

실제로 고등학생들이 가장 따라가기 힘들어하는 과목도 수학이고 가장 어려움을 느껴하는 과목도 수학이므로 애석하게도(개인의 적성이나 특성과는 무관하게) 수학 과목에 대한 호불호로 문이과를 결정하는게 지금 시대엔 가장 현명한 방법입니다.

 

아이가 중학교 2~3학년일 때부터 아이와 엄마가 함께 진지하게 문과를 갈지 이과를 갈지 일찍부터 고민하고.. 수학이 자신 있으면 이과를... 수학이 자신 없으면 문과를 가는 게 맞습니다.(논란의 여지가 있을 법하지만.. 영어는 문이과 공통으로 잘해야만 하는 게 당연하고 실제로 문이과 어딜가나 영어는 상위권 대부분의 아이들이 아주~ 잘합니다. 논술역시 수시가 보편화되면서 문이과 공통적으로 과외까지 받아가며 하고 있는 실정이고.. 입시의 당락이나 상위권 대학의 변별력은 결국 수능 수학의 근소한 몇 점.. 내지 수시 준비의 완성도에 따라 달라지는 게 현실입니다)

 

1차적인 분류가 가장 중요하다보니 얘기가 길어졌는데 문이과의 구분이 중요한 이유는 이과를 준비하는 학생의 경우 고1때부터 이과 선행을 하면 현실적으로 늦기 때문입니다. 따라서 확실하게 이과가 목표인 아이는 중 2 때부터 차근차근 중 3수학 및 고1 수학을 시작하는 게 좋고 문과가 목표라면 중 3 여름 방학 내지, 겨울 방학을 이용하여 고1 수학을 시작해도 무리가 없다고 생각합니다(물론.. 공부할 의지가 있고 계획을 따라갈 준비가 되어있는 아이에 한해서입니다).

 

1차적인 분류 후 고등수학을 선행 할 스타트 시기가 잡혔다면 이런 식으로 선행을 진행해 보십시오.

 

1. 집합

 

: 이 단원은 중학교 수학과 고등학교 수학의 격차가 가장 적은 단원입니다. 실제로 중학교 수학교재 중 상위권 아이들을 위한 인기교재인 최상위 수학, 하이레벨, a급수학과 같은 교재를 보면 많은 문제가 고1 수학 정석 집합 단원 예제나 연습 문제와 중복되거나 비슷합니다. 따라서 중 1이라도 이해력이 좋은 아이라면 정석 수준의 문제를 충분히 이해할 수 있습니다.

 

2. 명제

 

: 명제는 중학교 단원과 고등학교 단원이 일치하는 부분은 적으나 고등수학 1-1의 초반부분이니만큼 수학적 지식보다는 이해를 필요로 하는 단원이라 공부해두면 논리나 사고력 수학(수학경시)에도 많은 도움을 줍니다. 이 단원 역시 다른 학년 선행 여부와 관계없이 쉽게 공부할 수 있는 단원입니다.

 

3. 다항식의 연산, 인수분해

 

: 중 2-1의 곱셈공식, 중 3-1의 인수분해와 연관이 깊은 단원입니다. 개인적인 생각으로는 교육과정이 바뀐 후 곱셈공식과 인수분해가 2학년 과정과 3학년 과정으로 분리되어 오히려 중학생들에게 부담감을 주는데 종전의 중 3-1 과정처럼 곱셈공식->인수분해->이차방정식->이차함수(이하 곱,인,이방,이함 이라 칭함) 의 순서로 다항식의 연산과 인수분해를 익히는 게 가장 효과가 좋고 이해가 빠르다고 생각됩니다.

 

그래서 중학교 2학년 또는 3학년 학생이라면 위의 과정 곱,인,이방,이함 의 4단계 과정을 거친 후 정석의 다항식의 연산, 인수분해 과정을 거치면 비교적 선행의 진도나 성취도 면에서 효과가 있을 것입니다.

 

물론 정석에는 다항식의 경우 3차 이상, 인수분해의 경우 조립제법 및 고차 방정식의 해결과 연결되는 부분이 걸리는데 그런 과정은 인강의 도움을 받거나 정석이나 수학의 바이블, 풍산자 같은 해설이 자세한 교재를 참고하여 중학교 수학과 고등학교 수학을 연결하려는 노력을 기울여야 합니다.

 

중학교 수학과 고등학교 수학을 연결하려면? (2)

 

4. 유리식과 무리식

 

유리식은 중 1-1 과정, 중 2-1 과 연결선상에 있고 무리식은 중 3-1 과정과 연결되어 있습니다. 여기에서 또 한 번 어릴 때부터의 연산력 강화가 왜 중요한지에 대한 이유가 나옵니다.

 

우리 나라의 수학은 북미나 유럽과 달리 수업 시간에 계산기를 사용하지 않는 그리고 사용해서도 안되는 나라입니다. 실례로 강남 엄마들이 가장 선호한다는 선행 교재인 실력 정석의 경우 사고력을 높인 하이레벨의 문제도 있지만 복잡한 계산을 일일이 해야만 답을 구할 수 있는 복잡다단한 문제도 추가 되어있는 것도 사실입니다.

 

이런 이유로 어릴 때 연산 훈련을 소홀히 한 아이의 경우 중학교 수학 1학기 과정에서 매번 계산 실수로 수학 성적이 10~20점씩 떨어지기 십상이고 고등학교 수학에서도 문제 풀이가 길어질 경우 실수를 하게 됩니다. 따라서 이 단원을 선행 할 때는 중학교 과정을 충분히 연습 및 숙지한 후 고등학교 과정과 연결하는 게 도움이 됩니다.

 

 가장 기본적인 공식이나 계산 과정을 절대 소홀히 하지 말고 고등학교 수학에서 추가되는 수식이나 공식을 꼼꼼하게 외우고 익히는 게 중요합니다.

 

5. 방정식

 

방정식은 수학의 기본 중에 기본입니다. 그만큼 그 중요성은 제가 손 아프게 쓰지 않아도 충분히 알고 계실텐데요... 이 방정식이라는 단원이 특이한 게 초등학교 시절 연산이 약하거나 초등 고학년(5,6학년) 과정에 포함되는 여러가지 방법으로 문제 풀어보기 단원이 약한 아이의 경우 당장 중 1-1 일차방정식에서부터 장애가 생깁다는 겁니다. 따라서 제가 누차 강조해 온 것처럼 연산훈련이 약하다면 먼저 연산 훈련을 한 후 일차방정식의 가장 기본 유형 문제부터 수없이 반복 훈련하고 방정식의 활용을 하는 게 맞습니다.

 

일차방정식 단원은 방정식의 가장 기본이 되며 연산과 응용력을 함께 사용하게 되는 최초의 단원이자 가장 핵심인 단원입니다.

 

여기서부터 일차함수, 이차방정식, 이차함수 등.. 방정식과 함수의 연결 고리가 생기게 되고 이 연결 고리를 잘 이어나가면 고 1 수학의 방정식 단원과 맞닿게 됩니다.

고 1 수학은 이차방정식을 더욱 심화시켜 부정방정식이나 여러가지 방정식 등등.. 중학교 때 다루지 않았던 내용까지 다루게 되므로 좀 천천히 꼼꼼하게 선행할 필요가 있습니다.

 

6. 부등식

 

중 2-1 부등식의 기초 또한 방정식처럼 연산이 중요합니다. 그러나 부등식에서는 음수로 양변을 나눌 경우 부등호가 바뀐다는 중요한 규칙이 있으므로 이 부분을 사소하게 실수하지 않도록 중학교 때 연산 실수를 충분히 해 놓는 게 좋습니다.

 

어머님들이 중학생 자녀들의 수학 공부에 있어서 가장 걱정하는 단원이 방부등식의 활용 및 함수의 활용 단원인데 이 활용이라는 단원은 중학생에게 어려운 단원이지만 전체적인 선행이 되어 수학을 보는 눈이 넓어지면 시간이 흘러 수월하게 해결할 수 있는 단원이 됩니다.다만 주의할 것은 중학 수학에서 학생들이 어려워하는 몇몇 활용 대표유형들은 고등학교 수학에서 기본 중에 기본이므로 포기하고 넘어가선 안되겠습니다.

 

여하튼 중학교 때 부등식 단원의 기본을 잘 연마했다면 고 1 수학에서는 부등식을 그래프 즉 함수와 연결하여 폭넓게 이해해야 합니다.

 

실제 내신을 준비하는 고 1 학생들이 선행하지 않고 제 학기 진도로 수업을 따라가면 가장 어려워하는 단원이 부등식의 증명이라는 단원입니다.

 

 이해의 폭이 좁고 수학적 사고가 유연하지 않기 때문에 증명이라는 과정에 어려움을 느끼는 것이지요. 부등식의 증명은 고 1 수학이지만 고2, 고3 이 되어서 당연하게 자주 등장하는 몇몇 공식을 직접 증명하는 과정이 고3 수능 3,4점짜리 문항에도 자주 등장하므로 미리 선행해두면 나중에 두번, 세번 공부할 때 이해의 폭이 커집니다.

 

주의할 것은 선행과정에서는 증명이나 난이도가 높은 몇몇 단원이 쉽사리 이해가 되지 않을 경우가 종종 있으므로 첫 선행때는 중학교 수학과 고등학교 수학을 연결한다는 생각으로 가볍게 보고 두 번째 선행과정에서 꼼꼼히 공부하는 것도 한 방법입니다.

 

7. 함 수

 

중 1-1 비례와 반비례, 2-1 일차함수, 3-1 이차함수 그리고 고1 수학에서는 이 함수라는 단원을 총망라하여 정리하는 여러 단원과 함께 그동안 중학교 수학에서 다루지 않았던 여러가지 함수를 같이 등장시킵니다.

 

함수 단원은 사고력과 이해가 아주 중요한 단원입니다.

 

한가지 학부모님들이 마주하고 싶지 않으신 뼈아픈 진실을 하나 얘기하자면 시켜서 하는 공부와 본인이 알고자 해서 원해서하는 공부의 차이가 함수 같은 단원에서 티가 난다고 볼 수 있습니다.

 

제가 수학 공부 관련 글들을 쓰면서 끊임없이 어릴 때의 연산력 훈련을 강조했는데 애석하게도 연산훈련은 말 그대로 훈련만으로도 성과가 나타나지만 함수 같은 단원은 머리를 쓰지 않으면 그리고 정확하게 이해하지 않으면 하이레벨의 문제에서 여지없이 실패를 경험하고 마는 단원입니다.

 

특히 고 1 수학의 함수 단원은 중학교 때 익힌 함수를 바탕으로 이해의 폭을 넓혀 변수의 변화에 따른 대응값의 변화라는 측면에서 따져야 되는 단원이니만큼 한번에 정복되기 힘든 단원이라 할 수 있습니다.

 

중 3 과정까지 함수를 잘 이해했던 학생이라고 할지라도 고1 수학 정석을 바탕으로 함수를 자세히 공부하다보면 함수라는 게 얼마나 큰 이해력이 필요한지 알게 됩니다.

 

이 단원만큼은 자만하지 말고 겸손한 자세로 고 1 수학을 차근차근 정복해 나가길 바랍니다.