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중학교 수학 vs 고등학교 수학 차이점

 

...수학이 중요하다고 모두들 얘기 하기만 정작 중학수학, 고등수학 전반에 대한 구체적인 얘기를 하는 학부모를 지금까지 만나 본 적이 없습니다. 대학에서 이과출신이나, 상경계열 나오신 분들 제외하고 초등학교 수준을 넘어서는 수학 수준을 보유하고 계신분들 거의 없습니다(특히 어머님들은 증상이 매우 심각하십니다. 요즘 초등 5,6학년 수학문제 풀어보세요. 장난이 아닙니다. 특히 소위 스토리텔링인지 뭔지 하는 문제는 해답을 봐야 뭔말인지 이해할 수 있습니다.)

...교육부자료를 근거로 해서 중학-고등수학의 기본적인 차이점 정도만 학부모님들 수준에서 이해할 수 있을 정도로 정리해 보았습니다.

...구체적인 내용에 들어가서는 고등수학 심화수준은 중학수학과  소위 차원이 다르다는 정도로 이해하시면 됩니다.(특히 이과수학)

 

 

1. 내용의 차이

중학교와 고등학교 공부의 차이를 만드는 가장 큰 요인이 바로 수학입니다.

중학교 수학과 고등학교 수학의 배우는 내용은 연결되는 부분도 많지만 전체적으로 크게 차이가 납니다.

 

우선 중학교 1, 2, 3학년 2학기에서 나왔던 순수(논증) 기하부분은 고등학교 때 해석기하로 바뀝니다. 또한 중학교 때까지 배웠던 내용의 심화뿐만 아니라, 중학교 때까지 전혀 배우지 않았던 로그, 수열, 급수, 극한, 미분, 적분, 벡터(이과) 등의 새로운 개념도 배웁니다.

 

※ 수학에서는 어떤 새로운 개념, 상위개념이 나오더라도 초, 중때의 사칙연산 법칙,

자연수, 정수, 유리수, 무리수, 허수의 수 체계 및 방정식, 부등식, 함수개념, 도형의 기본 개념, 공식위에 성립하는 것이기 때문에, 고등수학과의 관련성이 직접적이냐, 간접적이냐의 정도의 차이는 있을지언정 결코 관련성이 전혀 없는 것은 단 하나도 없음. 따라서, 확실한 기초가 있느냐 없는냐가 가장 중요함.

 

※ 논증기하 vs 해석기하 비교

종 류	논증기하(순수기하)	해석기하
특 징	도형을 백지위에 놓고 접근하는 기하 주로 보조선(연장선)을 그어서 풀이	도형을 좌표평면에 놓고 접근하는 기하 주로 좌표에 올려 놓고 품
장 점	창의 상고력 상승, 아이디어 상승	논증기하에 비해 쉬움
단 점	하다가 어려워 빡칠 수 있음 (고교때 논증기하가 빠지는 지유)	여러 계산식 때문에 전개나 인수분해 능력이 없다면 쓰는 것이 힘듦
비 고	기하(도형) 관련 문제는 보통 논증기하/해석기하 두 가지 방식으로 접근가능하며, 문제에 따라 효율적(본인에게 능숙한)인 풀이방법을 선택해야 함. 대체로 선분에 관한 식은 논증기하가, 선분의 제곱에 관한 식은 해석기하가 쉬움.

※ 보통 논증기하는 개인의 도형(공간)감각, 해석기하는 대수적 능력과 연관이 많음

도형감각과 수감각이 둘다 좋으면 직관적 문제풀이가 가능한 것이 기하파트임

 

※ 개념과 개념의 통합, 새로운 개념의 출현

고등수학은 중학수학에서 배운 개별적 개념(물론 중학수학도 방정식/부등식, 특히 함수에서는 여러 가지 개념이 벌써 통합된 상태임)과 고등수학의 새로운 개념의 통합활용이 일어남. 어떤 개념이 다른 개념과 어떻게 연결되어 새로운 개념이 만들어지는지 이해하지 못하니 고등수학이 어려운 것임. 개별개념에 대한 이해와 깨달음, 능숙한 수준의 계산에 익숙하지 않은 상태에서 개념의 통합활용이 일어나니 소위 학생들이 무슨 말인지 모르겠다는 얘기가 나오는 것임

 

※ 수학적 개념의 추상성, 관념성

수학이 어려운 것이 보이지 않는 대상을 공부한다는 것임. 도형파트는 그나마 눈에 보이는 도형을 대상으로 하는 것이나(이것도 고등에서는 해석기하라고 해서 대수식을 통한 두뇌운동임), 특히, 함수, 극한, 미분, 적분 등(일명 해석학)의 개념은 그 시작이 철학적 사유에서 비롯된 것이어서 생각하고, 이해하고, 깨닫는 과정이 없으면 공부를 할 수 없음. 그래서 관련 개념이 발생한 역사적 배경과 어디에 쓰이는 지에 대한 것을 자세하고 쉽게 설명해주는 수학사, 수학교양서 등의 관련도서를 읽어서 교과서를 받아들일 때 어려움을 감소시키는 사전작업을 하여야 함.(배경지식 필요)

 

이런 배경지식과 철학적 사고수준을 확보하지 못하면 무식하게 외우려고 함.

고등수학을 외운다는 것은 철학적 사고를 외운다는 것임. 이것은 발상자체가 무지의 소산이며 망하는 지름길이며 절대로 불가능한 것임.

 

그래서 어려서부터 독서를 통한 사고력을 키워야하는 것임. 책을 읽어내는 능력 이 부족하고, 분수의 자유로운 계산능력, 수식의 전개, 인수분해, 이차방정식/부등식, 함수에 대하여 능숙한 수준(거의 무의식 수준의 자동화된 암산수준)이 안되면 결국 고등학교 수학에서 개고생하다가 소기의 목표를 달성하지 못함.

 

많은 선행을 안해서 수학을 못하는 것이 아니고, 선행을 할 능력이 부족하거나 없음에도 불구하고 선행에 목매고 있으니 수학성적 계속 떨어지다가, 결국은 수포자 되는 것임. 분명한 것은 누적식 공부와 현행과정의 심화공부를 한 학생의 경우 결코 선행을 많이 하지 못해서 수학과목을 실패하는 경우는 없다는 것임. 꼭 선행능력도 안되는 학생들과 부모님들이 선행안하면 큰일나는 것처럼 호들 값을 떨고, 불안감을 전파함.

 

2. 분량의 차이

중학교 교과서는 여러 가지 교재들 중에서도 페이지수가 비교적 여유있게 작성된 책입니다. 그래도 전체 3년치를 다 더해보면 800페이지 정도입니다. 이것을 3년 동안 배우므로 사실상 한 학기에 130페이지 정도입니다.

 

그러면 시험기간을 제외하고 실질적으로 한 학기가 평균 3,5개월임을 어림잡아 한 달에 40페이지 정도를 공부하면 됩니다.

※ 학교, 학원, 인강, 예습, 복습을 통하여도 평균적으로 1개월에 40페이지를 소화하 지 못해서 과거, 현재, 미래에도 수학으로 고통받고, 인생의 빛과 그림자의 원인이 된다는 것을 생각하면 참으로 아이러니하고 미스테리한 일입니다.

 

그런데 고등학교 수학 과정에서 잘 알려진 교재인 ‘수학의 정석’책을 살펴보면 페이 지 수만 1,800페이지에 달합니다.(이과 기준)

이것을 5~6학기 동안 다 배운다고 가정하면 학기당 250~300페이지를 공부해야 합 니다. 역시 한 학기를 평균 3.5개월 정도로 보면 한 달에 80페이지를 정도를 공부해 야 한다는 얘기입니다.

 

※ 영재고(과고)의 특이한 커리큘럼이 일반고에 영향을 주고, 수능전 문제풀이 집중 을 위한 조기 수학과정 종료. 보통 자사고는 2학년때 모든 수학과정 끝내고 3학년부터 문제풀이에 집중. 내신은 교육부, 교육청 감사 때문에 정부 가이드라인에 따른 교과 일정대로 시험출제. 교육부 교과과정과 현실상황이 다르게 돌아가는 구조임.

 

※ 원래 수1, 수2는 중학수학의 심화 확장과 고등수학의 핵심인 미적분으로 연결상에 위치한 가장 중 요한 교과과정임. 여기에서 사실상 수포자여부가 거의 결정 됨.

 

대부분 특목고 이과는 수1, 수2를 고1-1학기에 동시에 진도를 나감. 그래서 선행의 필요성에 대한 나름대로 타당한 논거가 있는 것임(문과는 정말 여유 있음)

 

고1-2에는 미적분1, 통계확률, 고2-1에는 미적분2, 고2-2에는 기하벡터를 마침으로써 3학년 초부터 수능식 문제풀이로 진행됨(대체로 유명 자사고들의 커리큘럼이 이러함)---따라서, 전국형 특목고 이과지망생은 수1,2는 심화수준, 미적분1, 통계확률까지는 최소 1번은 선행하고 입학해야 함(이게 마지노선임)

 

이렇게 안하면 수능 정시에는 성공할지 모르나 학교내신에서 수학의 강적들에게 당해낼 수 없고, 영어, 과학과목에도 신경써야 하기 때문에 수시준비를 위한 내신에서 절대적으로 불리한 위치에 처하게 됨

 

※ 따라서, 자기가 지망하는 고등학교 유형의 수학교과과정에 상응하는 예습(선행)을 적정하게, 충실하게 하는 것이 최선의 선택. 이것이 결코 쉽지 않음. 그럼에도 불구하고 이런 기형적인 교과과정을 훨씬 초월해서 고교수학 전과정을 선행한다는 얘기가 들리는 것 보면 진짜 수학영재인지, 다른 과목 포기하고 수학만하는지, 그렇게 해서 효과가 있는지 개인적으로 매우 궁금함

 

게다가 고등학교 때는 교과서 이외에도 부교재로 다른 기본서나 문제집을 많이 선 택하여 공부하는 경우가 많습니다.

중고등 수학의 난이도 차이가 전혀 없다고 가정해도 대략적인 계산으로 고등학교 때 공부해야 할 수학의 절대량이 중학교 때의 최소 두 배 이상이라는 결과가 나옵 니다.

 

3. 배우는 속도의 차이

이처럼 분량은 훨씬 많은데 진도를 나갈 시간은 2년에서 2년 조금 넘는 시간뿐입니 다. 3학년 중반부터는 학교에서도 입시 위주로 수업하는 것이 일반적이기 때문에 속도는 위에서 살펴보았듯이 페이지 수 계산만으로도 두 배 이상이고, 개념의 복잡도나 문제의 난이도를 고려하면 그 차이는 더욱 심해집니다.

 

4. 배우는 난이도의 차이

중학교 때 들어본 적도 없는 기호나 개념을 고등학교 때 처음 배우는 내용이 전체 의 50% 이상에 달합니다. 그러다 보니 체감하는 난이도는 당연히 훨씬 높을 수밖에 없습니다. 1학년에서 배우는 내용의 상당 부분은 중학교 과정의 심화이지만 심리적 으로 고등학교 수학이라는 부담감 때문에 난이도가 높게 느껴집니다.

 

따라서, 중학교 수학에서 고등학교 수학에 자연스럽게 적응하려면, 차근차근 여러번 제대로 공부해야 합니다. 그렇게 해서 일단 고등학교 수학 공부에 적응이 되면 수학1, 수학2 이후에 배우게 되는 과목에서도 자신감을 가질 수 있습니다.

 

5. 내신 시험문제의 차이

중학교나 고등학교나 내신 시험의 기본적인 속성 탓에 수학도 배운 내용 위주로 평이하게 나오는 편입니다. 그러나 중학교 시험에 비해서 고등학교 때에는 좀 더 복 합적으로 개념이 조합되어 출제됩니다.

 

따라서, 단순히 푸는 법을 외우는 것만으로는 쉽게 풀기 힘듭니다. 또한 전형적인 유형의 문제(그 단원을 배우면 자주 만나게 되는 문제들) 풀(pool)이 훨씬 큽니다.

그래서 푸는 법을 외우기엔 너무 문제 수가 많습니다. 결론적으로 내신 시험만을 위해서도 제대로 된 공부법으로 많은 시간을 투자해야 함을 알 수 있습니다.

 

***예전에 시간되면 수학교양서 목록 올려드린다고 했는데 가능하면 7월중에

    제가 읽은 것 중에서 읽어 볼 가치가 있는 것과 반드시 읽어야 할 교재를

    간단하게 정리해 드리겠습니다.(30~40만원 정도 책구입 자금 준비해 두세요)

 

---댓글 달으시라는 말 빼먹었네요...