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□ 계산능력과 수학실력의 관계에 대하여

 

수학문제에는 깊이 있고 흥미로우면서도 계산도 복잡한 문제들도 많습니다. 그러니까 계산이 복잡하다고 모두 재미가 없는 것은 아닙니다. 그리고 실제 현실에서 부딪히는 많은 문제들은 계산이 복잡할 수 밖에 없습니다.

 

또한 어떤 것은 그 계산과정 자체가 흥미로운 것들도 있습니다. 그러므로 수학실력이 수준급이 된다는 것은 복잡한 계산을 빠르고 정확하게 수행하는 능력을 포함하고 있어야 함은 당연한 것입니다.

 

그런데 수능문제 등 기타 권위 있는 수학시험문제들은 단순계산의 반복을 통해 답을 구하는 문제들은 별로 출제되지 않는 것 같습니다. 오히려 개념이 분명히 정립되어 있으면 간단한 계산으로 답을 구할 수 있는 경우가 많습니다.

 

사실 계산능력이 탁월한 학생들이 각종 개념 정립도 잘되어 있는 법입니다. 이 두 능력이 비례한다는 것은 그 안에 상당한 이유가 있습니다.

 

여러분은 영어는 매우 못하는데 수학은 매우 뛰어난 친구를 본 적이 있을 것입니다. 반면에 계산능력은 형편없지만 수학의 각종 개념이 확실하게 정립되어 있는 친구를 본 적이 있습니까? 없을 것입니다. 둘은 상호보완적인 관계이고, 어느 한쪽이 기형적으로 발전할 수 없다는 것을 의미합니다.

 

여러분은 가끔씩 자신의 계산실력이 녹슬지 않게 관리도 해주어야 할 것입니다. 계산이 자꾸 틀린다는 것은 별것 아닌 것 같지만 수학실력 전체에 문제가 있다는 것입니다. 즉, 자꾸만 시험에서 실수하는 것이 사실은 실력이 모자라는 것을 나타내는 것 과 같은 것입니다.

 

반대로 수학에 대한 이해가 깊어지면 계산능력도 따라서 올라가게 됩니다. 그러므로 좋은 개념서를 통하여 수학적인 개념을 깊이 있게 이해하는 것이 계산을 바르고 정확하게 하는 것에도 크게 도움이 될 것입니다.

 

□ 공부의 핵심 원리에 대한 이해를 돕는 글

 

ㅇthat which we persist in doing becomes easier for us to do, not that the nature of the thing itself is changed, but that our power to do is increased.

어떤 일이건 끈질기게 시도하면 나중에 점차 쉬워지는데, 이는 일 자체의 본질이 변하기 때문이 아니라, 일을 하는 우리의 능력이 커지기 때문이다.

(공부의 대상은 객관적으로 존재하는 것으로서 공부하는 주체의 태도, 정신이 바뀌어가는 과정이 결 국 공부라는 것이며, 낮설은 것을 익숙한, 능숙한 수준으로 잘할 수 있는 수준에 도달하는 것이 하나 의 기준이 될 것입니다. 이에 대한 예는 음악, 미술, 체육, 공부 등 일정한 반복연습을 필요로 하는 모든 분야에 공통되는 것입니다. 결국 1만 시간의 법칙, 축적의 시간, 양적축적의 질적전환 등으로 표현되는 정신적, 육체적 학습과정을 지배하는 법칙은 동일하다는 것입니다.)

 

ㅇthe hollows the stone, not by its force, but by its frequence.

물방울이 바위에 구멍을 뚫는 것은 그 세기가 아니라 잦음에 의한 것이다.

 

ㅇ공부 왕도는 ‘아는 것 모르는 것 빨리 구분하는 것’ 그리고 나서

(이것이 메타인지가 높은 최상위 0.1% 학생들이 일반학생과 다른 점이다)

 

많이 배우기보다 배운 것 까먹지 않기 위해서 ‘복습, 복습, 또 복습 하는 것’

(공부에서 가장 억울한 것이 배운 것을 망각하는 것이다. 복습이 유일한 답이다. 할아버지의 경제력, 아빠의 무관심, 엄마의 정보력 다 필요 없다. 정작 중요한 것은 까먹기 전에 하는 주기적 복습이다.)

 

ㅇ모든 공부는 ‘분할해서 정복하는 것’이다.

(분할하여 정복하다 보면 큰 덩어리로 합쳐지게 된다. 꾸준함이 답이다)

 

ㅇ모든 공부는 알면 쉬어지고, 쉬워지면 당연해지고, 당연해지면 빨라지고, 빨라지면 재미있어집니다. 적어도 공부는 빨라지는 단계까지는 해야 합니다. (신승범 어록)

 

□ 수학은 하나의 언어다. 특수한 외국어 공부라고 생각하고 수학을 공부해야 한다.

- 수학공부는 특수한 외국어를 습득하는 과정으로 이해해고 접근해야 한다.

 

국어, 영어, 수학은 하나의 언어체계이다. 국어는 중국 한자 문화권의 영향을 받아 한자어를 포함한 모국어이고, 영어는 전세계에서 가장 영향력 있는 제1의 외국어이다.

수학은 시간과 공간을 초월한 전세계 지구인 모두의 공통언어이다. 세계 그 어느나라에 가든, 과거 100년전으로 되돌아가든 100년 후 미래의 어느 시점에 가든, 선진국에 가든 문자를 모르는 미개한 원시부족인이 사는 섬에 가든 수학적 의미는 똑같다.

 

극단적으로는 지구상에 단 한명의 주장이 맞고 나머지 60억명의 사람이 틀릴 수 있는 분야가 수학이다. 수학적 증명이라는 과정을 통하여 이것이 증명될 수 있다는 것이다. 그래서 수학이 위대하다고 하는 것이다. 일반인에게는 짜증나는 헛소리로 들릴 것이다.

 

“수학은 과학의 언어다”라는 말이 있다. 과학적 현상과 원리를 효율적으로 설명하기 위하여 수학이 필수불가결하며 가장 적합한 언어라는 것이다.

 

수학을 활용하면 하나의 수식 또는 방정식으로 과학의 중요한 원리나 법칙을 직관적으로 알아볼 수 있게 나타낼 수 있다. 수백페이지에 걸친 자세한 설명을 하나의 수식으로 나타낼 수 있다는 말이다.

따라서, 수학을 못하면 과학을 잘 할 수 없다. 과학을 잘 이해할 수 없기 때문이다.

 

결국 초, 중, 고생들이 배워야하는 언어는 3가지인 것이다. 국어, 영어, 수학.

 

고등학교 수준까지의 공부란 결국 이 3가지의 도구를 습득하고 잘 활용하는 방법을 익히는 과정이다. 3가지의 학습도구를 어느 수준까지 능숙하게 익히느냐가 성패를 좌우한다고 할 수 있다.

 

일반인들은 국어, 영어는 언어라고 당연하게 생각하고 누구도 이에 대하여 이의를 제기하지 않는다. 그런데 수학을 하나의 언어라고 생각하는 일반인은 거의 보지 못했다.

 

개인적으로 수학, 과학도서와 전문서적, 논문 등을 읽으면서 깨달은 것은 결국 수학이 가장 어려운 특수한 언어라는 것이며, 수학이라는 언어에 대한 올바른 이해와 충분한 고려 없이 섣불리 정복대상으로 생각하고 달려드는 경우에는 결국 패배할 수 밖에 없다는 것이다.

 

초, 중, 고생이 접하는 기본서와 수백가지의 문제집은 이런 수학의 언어적 특성이 거의 반영되어 있지 않고(설명해 주지 않고), 수학의 한가지 특징인 계산적 측면을 너무 크게 부각시키고 어려운 문제를 잘 푸는 것을 수학이라는 언어를 잘하는 것으로 오인하게 한다.

 

어려운 문제, 난이도가 높은 문제, 심화문제 등으로 흔히 얘기되는 수학문제에 대하여 근본적인 사고의 관점을 재고해 볼 필요가 있다고 생각한다.

 

어렵다가 아닌 “익숙하지 않다”는 표현이 적절하다고 본다. 도대체 어렵다는 기준과 난이도가 높다는 기준은 무엇인가. 초등학교 수학문제는 쉬운가, 대학교 수학문제는 어려운가. 초등학교 수학문제를 못 푸는 대학생에게 그 문제는 어려운 문제인가 쉬운 문제인가. 미적분 문제를 쉽게 푸는 초등생에게 고등학교 문제는 쉬운 문제인가 어려운 문제인가. 명확한 결론을 내기 쉽지 않은 사항이다.

 

결국은 배운 것에 대한 익숙함과 능숙함이 수학을 잘하는 기준이 되어야 하며 개인별 능력과 특성에 따른 학습방법과 학습수준이 설정되어야 한다는 것이며, 교재수준에 학생을 맞추는 것이 아니라 학생수준에 교재수준을 맞추어야 한다는 것이다.

 

수학은 다른 언어와 마찬가지로 명백히 하나의 언어체계이고 사고체계이다. 국어, 영어와 똑같다. 이점을 염두해 두고 각각의 차이점과 공통점을 파악하여 접근해야 한다.

 

인간 상호간 소통을 위한 상징체계는 언어, 문자, 기호, 미술, 음악 등 다양하다.

수학은 문자(특수문자, 기호 포함)와 숫자를 통하여 표현되고 이해되며 가장 정밀하고 체계적이고 논리적인 과정으로 습득된다.

 

언어습득(말하기, 듣기, 읽기, 쓰기의 4대 영역)은 기본적으로 듣기 → 말하기 → 읽기 → 쓰기의 과정으로 진행되며 계속 범위를 확대하고 깊이를 더해가면서 순환적 나선형으로 습득된다. 모든 언어습득의 공통점은 반복을 통한 익숙함에 있다.

 

익숙함의 단계에 이르면 드디어 다양한 활용과 유추능력, 추론능력, 더 나아가 직관력, 통찰력이 표출되는 단계로 가는 것이다. 그러기 위하여는 기본적, 필수적으로 요구되는 수준이상의 충분한 훈련과 지식의 축적의 시간이 필요하며 배운 범위 내에서는 무의식적(자유로운) 수준에 이르러야 하는 것이다. (흔히 말과 글로 자유롭게 표현할 수 있을 정도로 숙달된 수준이라고 말한다)

 

특히 수학에서의 기형적인 선행학습은 일반적인 학습이론과 배치되기 때문에 찬성하기 어렵다. 학생들의 연령에 따른 지적수준, 개념이해, 계산력 습득, 능숙한 활용에 필요한 충분한 훈련과 시간의 투입이 절대적으로 부족한 요즘의 수학선행은 90%이상 헛수고다(흔히 말하는 보는 수학공부, 네비게이션식 수학학습, 생각없는 좀비형 수학이 그 특징이다).

 

수학이라는 특정학년 과정의 언어를 1개월 완성, 2개월 완성하는 식으로 배운다는 것이 그럴듯해 보이고 성과가 나오는 것 같아도, 그렇게 배운 수학이나 2개월 완성으로 배운 영어나 나중에 시간이 지나면 제자리로 되돌아오는 것을 수없이 경험하지 않았든가. 언어를 배우는 원리에 충실하며 매우 조금씩, 꾸준하게, 읽고 쓰고, 생각하는 과정을 매일 반복할 때에 수학이라는 언어를 자연스럽게 습득할 수 있을 것이다.

 

관념성, 추상성이 너무 강하고 보이지 않는 대상에 대한 공부인 수학은 순수하게 머릿속에서 일어나는 현상이기 때문에 깊은 사고의 과정이 없이는 습득 불가능한 언어이다. 수학을 귀로 들어서 배울 수도 없고, 눈으로 보는 것으로도 안되고, 말로 떠들어 대는 것으로도 안된다. 궁극적으로는 머릿속으로 하는 것이 수학이다. 눈으로 보는 것은 뇌의 작용 중 한가지에 불과한 것이다.

 

그렇게 많은 시간과 비용을 투입하고, 선행까지 몇 번씩하면서도 최근 20년간의 고등학생들 수학성적 통계를 보면 큰 변화가 없다. 아니 객관적으로 실력 하향추세이다.

국어, 영어도 똑같다. 문과 및 이과에서 어려운 파트가 상당부분 빠졌고 고급수학, 대학수학 과정으로 미루어졌음에도 불구하고 어렵다고 난리다. 자기 학년기준 문과 6개월, 이과 1년 정도의 앞선 과정 공부는 당연히 예습범위이고 선행이 아니다. 누구나 방학 때 해야 하는 것이다. 이 예습과정을 70% 정도 소화하면 매우 훌륭한 학생이다.

 

초등학교 산수를 못하면 중학교 수학이 안되고, 중학교 수학이 안되면 고등학교 수학이 안되는 것을 머리로는 이해하면서도 행동은 반대로 하는 부모들이 태반이다. 초등수학을 못하는 것을 알고 중학교 때는 뒤처지면 안된다는 일념에 중학선행 시키고, 중학수학이 부실한데 고등학교 수학이 중요하다고 고등수학 선행공부 시킨다. 부모 잘못만나면 대략 10살 쯤에(초등3학년) 자식인생 망치는데 본격적으로 시간, 돈 투입하기 시작한다. 그리고 대략 10년 정도 지나면 확실한 효과로 입증된다. 수포자 완성.

 

수학의 특성중 하나가 꼬인 것을 풀지 않고 계속 나가면 반드시 발목이 잡히고, 그것을 해결해야만 문제를 풀 수 있다는 것이다. 그것이 누적되어 결국 포기하고 만다.

 

수학은 지구상에서 가장 일반적, 공통적으로 사용되는 언어체계(언어수단)이다.

공간(국가, 지역)과 시간(과거, 현대, 미래)의 장애물에 상관없이 동일한 의미와 형식으로 습득되고 전파된다.

 

인간이 사용하는 언어와 문자는 절대로 100% 객관적으로 이해되거나 전달될 수 없다는 사실을 받아들여야 한다. 언어와 문자가 사용되는 특수한 상황내지 조건에서 경험과 기존 지식체계를 조합한 유추내지 추론능력을 발휘하여 그 의미를 이해하는 것임을 직시해야 한다.

 

같은 책을 읽고, 음악을 듣고, 강의를 들고, 그림을 보아도 각자가 받아들이고 해석하는 내용, 범위, 의미에 있어서는 분명히 공통적인 부분과 개별적인 부분으로 차이를 보인다. 특히 개인의 경험과 지식체계에 따라 현저한 차이를 보인다. 심지어는 전혀 상반된 해석과 이해의 결과를 보이는 경우를 우리는 경험했을 것이다.

 

수학과 과학을 제외한 모든 지식체계는 거의 개인적 삶의 역사적 배경, 가치관, 경험, 이데올로기의 영향아래 주관적으로 습득되고 이해된다고 할 수 있다.

 

수학은 매우 특수한 언어체계이면서 사고체계이고 논리체계이다. 그래서 외국어를 배우는 것보다 많은 시간과 반복성, 지속성, 엄밀성이 필수적으로 요구된다. 수학은 내면적으로는 여러 가지 수학분야 논리체계의 구성부문(집합, 정수, 대수, 기하, 확률통계, 조합, 해석학 등)이 하나의 큰 논리체계로 일관되게 모순없이 유지되고 있으며, 개별적인 논리체계를 유지하면서도 다른 부분과 논리적, 개념적 충돌없이 연관성을 가지는 독특한 체계이다.

 

우리가 외국어를 배우는데 들이는 시간과 비용만큼 수학을 공부하는 데 있어서도 반복성, 지속성이 생명이다. 다만 수학과 다른 점은 외국어는 어린시절 듣기와 말하기의 영역을 자연스럽게 경험하면 이후에 읽기와 쓰기를 쉽게 배울 수 있다는 것이다.

 

외국어는 보통 12세 이전에 이런 과정을 통한 경험적 기반학습이 없이 지내오다가 12세 이후에 영어를 공부하려면 learn이 아닌 study 방식으로 공부해애 한다는 것이다. study 방식은 훨씬 힘들고 고통스러우며 억지로 외우고 망각하는 과정이 반복되어야 외국어가 몸에 익혀진다는 것이다. 그래서 나이 들어 외국어를 습득하는 것이 어렵다고 하는 것이다. 또한 이렇게 배운 외국어는 결코 learn의 형태로 자연스럽게 습득한 외국어에 비하여 언어적 감이 현저하게 떨어진다는 것이다.

 

영어는 수학처럼 위계적(계층적)구조가 아니며 어휘와 배경지식의 확장에 따라 무리없이 상당한 수준까지 습득할 수 있으나, 수학의 경우에는 초등수학(특히 분수)을 생략하고 결코 중등수학을 할 수 없으며, 중등수학을 생략하고 고등수학을 할 수 없는 즉, 중간 생략이나 건너뛰기를 허용하지 않는 위계성이 가장 강한 과목이다.

 

영어의 문법책은 초등, 중등, 고등, 대학에서 별반 차이가 없다. 사실 중등 영어문법 정도면 영어의 문법은 충분하다고 할 수 있다. 그러나 수학을 보라. 초, 중, 고, 대학의 수학개념과 수식이 끊임없이 나오고 확장되며 소위 난이도(복잡성)는 계속 높아진다.

 

똑같은 언어체계이면서도 물과 기름같은 독특한 차이점에 주목하며 외국어와 수학이라는 과목을 바라보는 관점을 재정립해야 한다. 더불어서 외국어의 경우 일단 한번 습득하면 상당시간이 흘러도 망각이라는 효과가 거의 없는데 비하여 수학이라는 과목은 1개월만 손을 놓아도 감이 현저하게 떨어지며, 1년 정도 손을 놓으면 거의 백지상태의 수준으로 가는 현상을 95%이상의 사람들이 경험했을 것이다.

 

학부모 중에 수학교사, 학원강사 아니면서 자기 자식 중고등학교 수학 가르칠 수 있는 사람 몇 퍼센트나 될까. 이게 가능한 5% 미만의 사람들은 직업으로든 업무적으로든 지속적으로 수학을 직접 다루면서 생활하는 사람밖에 없다는 사실을 알아야 한다.