[공부] 과목별 공부법

어떻게 하면 수학 실력을 올릴 수 있는가?
무식하게 공식을 외우고 유형문제를 많이 풀어보는 공부는 그만!
수학의 약속과 정의와 공식을 먼저 이해하라
그리고 문제해결능력을 스스로 쌓아라

내신/수능/논술 등에서 수학 과목을 잘하기 위해서는 먼저 수학자들이 만들어 놓은 ‘정의’와 ‘약속’을 잘 이해해야 한다. 기본적으로 수학은 원래 세상에 존재하지 않는 개념이었다. 그러나, 인간이 생활을 하면서 맞닥뜨리는 각종 계산과 논리를 위해 여러 가지 ‘약속’을 정하기 시작한 것이 수학의 출발이었다. ‘수열’이라는 것은 자연현상이 아니었다. 원시인들의 동굴의 벽화에서 발굴해 낸 역사적 사실은 더더욱 아니었다. ‘발견’한 것이 아니고, 그냥 수학자들이 자신들의 필요에 의해 ‘발명’한 것이었다.

 

< 수학 기반학습의 5가지 원칙 >

 

기반 학습1- 약속을 이해하라

이러한 이유로 수학에서 가장 중요한 것은 ‘그 약속이 왜 탄생했고, 그 목적을 위해 사용한 전개 논리(원리)는 정확히 무엇인가’를 이해하는 것이다. 이것이 50% 이상이다. 수열은 수학자들의 기본 특성에서 비롯되었다. 기억하라! 수학자들은 복잡하고 무언가 많이 써야 하는 모든 것들을 경멸한다! ‘2,4,6,8,10,12…’ 매번 이렇게 쓰기 보다는 간단하게 ‘짝수’라고 쓰기를 좋아했던 것이다. 이래서 만든 것이 수열이다. 이러한 탄생배경과 원리를 이해해야 한다.

그리고 이런 형태의 수학자들의 약속에서 가장 중요한 것은 ‘이름’이다. 왜 수학자들은 ‘수열’이라는 이름을 붙였을까? 말 그대로 ‘수의 나열’이기 때문이다. 제목만 제대로 분석해도 수학자들이 이 개념을 왜 만들었는지 쉽게 추측할 수 있다.

이러한 것은 시험 때는 조급해져서 도저히 찬찬히 들여다볼 수 없는, 그러나 수학에 있어 매우 중요한 기반 중 기반이다.

 

 

기반 학습2- 공식 별거 아니다

약속의 기본 바탕을 완전히 이해했다면 이제 ‘공식’ 공부로 넘어간다. 흔히 많은 학생들이 이 ‘공식’부터 비중을 두고 공부하기 시작하는데, 실상 이 공식은 별 것이 아니다. 기본 ‘약속’을 빈번히 쓰다 보니 오직 ‘계산의 편리성’을 위해 자주 나오는 ‘규칙’을 정리해 둘 필요가 있어 수학자들이 따로 정리한 것이 ‘공식’이다. 공식은 ‘약속’을 좀더 빠르고 쉽게 쓸 수 있게 정해놓은 ‘도구’에 불과하다. 그 이상도 그 이하도 아니다.

이런 의미에서, 공식을 무조건 외울 것이 아니라 왜 그 공식이 나왔는지, 그 부분을 공식으로 만들어두면 왜 편리한지, 수학자들이 그 공식을 만드는데 사용한 논리(원리)는 무엇인지에 집중해서 접근하면 암기도 더 빠르고 응용력도 자연히 길러진다. 수열의 첫 번째 공식은 ‘등차수열의 일반항 공식’이다. An=A1+ (n-1)d. 대부분의 학생들은 여기부터 책을 펼치고 공식을 달달 암기한다. 이 공식이 수열 단원에 있는지, 심지어 때때로는(아니,아주 빈번히) 저 공식에서 A1이 뭐고 d가 뭔지를 잊어버린다. 이것은 말 그대로 ‘무식하게’ 외웠기 때문에 생긴 무식한 결과이다.

그러나 수학자들은 다르다. 그들 역시 저 공식을 시험 때 간혹 잊어버리기도 한다. 대신 그들은 즉석에서 그 공식을 ‘유도’해내는, 영화에서 나올 법한 ‘기이한’ 일들을 벌이곤 한다. 정말이지 선천적 천재성이라는 것이 있는 것일까? 그들에게는 도저히 따라갈 수 없는 유전자 코드라도 있는 것일까?

아니다. 실상 별 것이 아니다. 그들은 등차수열의 기본 원리(항과 항 사이의 차이가 계속 똑 같은 수의 나열)를 깊이 이해하고 있기에(다시 이름으로 돌아가보자. ‘등차’가 무슨 뜻인가? 같을 등! 차이 차!), 자신의 희미한 기억과 더불어 2,3초만에 공식을 유도해 내는 것이다.

‘모양이 A1+ 어쩌구였던 것 같은데… d도 있었고… 에이, ‘2,4,6,8…’ 이것 가지고 일반항 한 번 만들어보고 기억 나는 거랑 맞추어보지 뭐.’ 이런 식이다. 이것이 진정한 암기와 이해의 시너지 효과이다.

또한 저 공식이 ‘왜’ 만들어졌는지도 그들은 알고 있다. 이것 역시 엄청나게 복잡하게 공부해야 할 문제는 아니다. 조금만 생각해보면 수학자들의 의도를 파악할 수 있다. ‘아~ 이건 항과 항 사이의 차이가 일정하군. 그럼 중간에 있는 임의의 n항은 이렇게 저렇게 뽁짝뽁짝하면 일반적으로 표시할 수 있겠군.’

이런 과정을 ‘매 번 반복’하는 게 너무 지겨워서, 매 번 ‘뽁짝뽁짝하는 것’이 귀찮고 시간낭비 같아서 수학자들이 미리 계산해 두고 그 꼴을 정리해 둔 것뿐이다. 공식은 이렇듯 그 다음부터 계산할 때 조금이라도 시간을 단축하기 위한 ‘도구’에 불과한 것이다. 간혹 세일할 때 옷 가게에 가면 옷 가격에 따라 할인율을 곱해놓은 ‘표’를 만들어두고 쓰는 매장을 봤을 것이다. 공식은 이것과 마찬가지다. 매번 옷 가격에 할인율을 곱하는 게 귀찮아서 자주 팔리는 옷 가격들의 할인 가격을 미리 곱셈으로 계산해서 정리해놓은 ‘도구’와 다름없는 것이다.

 

 

기반 학습3- 문제풀이 알면 쉽다.

수학은 애초부터 ‘문제해결’을 위해 만들어진 학문이었다. 앞서 설명한 각종 약속들과 정의들은 수학자들이 특정 문제를 해결하기 위해 만들고 발명해낸 것이다. 다시 강조하지만, 수열은 숫자를 길게 나열하여 써야 하는 ‘번거로움의 문제’를 해결하기 위해, 수학자들이 만든 ‘약속’이다. 따라서, 각종 약속들의 정의에 대해 완전히 이해하고, 그에 딸린 공식들이 어떻게 나왔는지, 앞서 설명한 ‘기반’을 확실히 쌓았다면, 수학공부의 세 번째 단계, ‘문제풀이’는 좀더 쉬워진다.

핵심을 이해했기에 어떤 문제가 나왔을 때 어떤 개념과 공식을 써야 하는지를 ‘분석’하고 대번에 ‘발상’해낼 수 있는 것이다. 약속을 꿰뚫고 있으면 어떤 문제에 부딪혔을 때 무엇을 ‘써먹어야’ 할 지 알 수 있다. 그러나 한편으로는, 오직 약속과 정의만 꿰뚫고 있다고 해서 이 능력이 자연스럽게 따라오는 것만도 아니다. 개념과 공식을 자꾸 다양한 문제에 연결시켜보는 훈련만이 이러한 능력들-문제분석력/발상력-을 강하게 해준다.

가령 ‘수열’문제가 시험 문제로 출제되었다고 하자. 대부분의 학생이 겪는 문제는, 먼저 이 문제가 무엇을 요구하고 어떻게 구성되어 있는지 ‘분석’을 제대로 못한다는 것이다. 결국은 ‘100번째 항’을 구하라는 문제인데 헛다리만 짚고 있거나, 수많은 힌트와 조건을 주었음에도 눈치를 못 채거나 그 중 일부만 활용하는 안타까운 상황이 반복될 뿐이다. 이러한 ‘문제 분석력’은 문제를 단순히 많이 풀어서는 기를 수 없는 능력이다. 많은 문제보다는 적은 수의 문제에 대해 무엇이 문제에서 요구하는 것인지, 이를 위해 어떤 조건이 주어졌는지 분석하고 확인하는 훈련을 해야 한다.(풀이는 20, 답 맞추고 분석해보는 것이 80이어야 한다.)

이 역시 문제풀이의 분석보다는 ‘감각’이 중요시되는 시험 기간에는 결코 하기 힘든 ‘기반 학습’이다.

문제를 제대로 분석했다고 할 지라도 여전히 어려움은 남는다. 기본서도 열심히 공부했고 공식도 100% 완전하게 외웠음에도 정작 그 문제에 ‘수열’을 써먹어야 하는지 ‘발상’을 못한다는 것이다. 이런 ‘발상력’의 부족은(많은 학생들이 이것을 ‘응용력’이라 부른다.), 첫째 ‘수열’이라는 개념을 바닥까지 완전히 꿰뚫고 있지 못해서이며, 둘째 그런 훈련을 제대로 하지 않았기 때문이다. 다시 돌아가보자. 수열이 왜 만들어졌다고? 바로 수를 일일이 나열하기 귀찮아서 간단한 ‘규칙’으로 썼으면 하는 바람에서 만든 것이다. 핵심은 ‘수의 나열’과 ‘규칙 찾기’이다. 등차수열의 복잡한 공식이 아니라, 바로 이 두 가지 키워드가 가장 근원적으로 꿰뚫고 있어야 하는 ‘기반 중의 기반’이다.

 

 

기반학습4- 문제해결능력을 길러야 한다.

분석과 발상을 제대로 하여 적절한 개념을 가져왔다면 그것을 논리적으로 배치하여 마지막 답까지 정확히 이끌어 내는 것에는 구축과 논리력이 작용한다. 이러한 ‘문제 해결 능력’은 단순히 기계적으로 많은 문제를 푼다고 길러지는 것이 아니라 한 문제 한 문제에 대한 충분히 긴 고민과 분석을 통해 길러진다.

최근의 수학 문제에는 오직 하나의 개념이나 공식만 쓰이는 경우는 매우 적다. 수열을 ‘발상’해내서 계산을 하다 보니 Log를 ‘발상’해야 하고, 이 두 가지를 또 다른 개념인 방정식을 ‘발상’해서 묶어야 하는 경우가 비일비재하다. 이 경우 각각을 발상해 내는 능력도 중요하지만, 정확한 순서와 구조로 ‘조합’하는 능력도 매우 중요하다. 간단하게 건물 설계를 생각해보자. 실내 인테리어 지식도 가져오고(발상!), 전기 배선 지식도 가져오고(발상!), 건물구조에 대한 지식도 아무리 잘 가져왔어도(발상!), 막상 그것들을 제대로 설계하고 조합하지 못하면 영 이상한 건물이 나오는 것이다.

 

 

기반 학습5- 문제는 수학적 사고력이다.

어쨌든 이러한 ‘문제 해결 능력’과, 가장 기본이 되는 각종 ‘약속’과 ‘공식’ 등을 탄생배경과 목적적 의미에서 바라보는 ‘수학적 사고력’은 시험 임박에서 억지로 공부해서는 절대 길러질 수 없는 ‘기반’이다. 눈에 보이지 않지만, 결정적인 역할을 할 ‘수학 두뇌’이자 ‘수학 근육’이다.

가령 ‘수열’을 이런 식으로 제대로 공부한다면, 수열 자체를 마스터하는데 결정적인 역할도 하겠지만, 더 나아가 Log를 공부하는 데에도 도움이 될 것이다. 수열과 Log가 개념적으로 어떤 관련성이 있어서 그렇다는 얘기가 아니다. 수열을 ‘수학적’으로 바라보았기에(정의/약속 중심, 공식은 단순한 도구, 문제에서 중요한 건 발상과 논리) 길러진 새로운 생각 방식과 시각이 Log에도 그대로 적용되어 Log를 한층 ‘제대로’ 공부할 수 있게끔 해준다는 것이다. 한 단원에서 눈을 뜨면, 그 눈은 그대로 다른 단원에도 적용된다는 원리다. 하루에 10km를 뛰는 것과 야구 선수가 타석에서 공을 맞추는 것은 일면 관계 없어 보이지만, 결과적으로는 달리기에서 길러진 전체적인 운동 능력이 타율을 높여주는 것과 같은 이치다.

이런 기반들이 갖추어진 후에 필요한 공식을 달달 외우고, 많은 문제풀이를 통해 손에 익숙하게 하여 시간을 단축시키고 계산 실수를 줄이면, 그것으로 시험(특히 내신 시험)에 대한 준비, ‘시험 학습’은 완벽히 해낼 수 있다.

 

자료제공 : 1318대학진학연구소