이 글은 스터디홀릭 가족이신 '유심조(mathgeo)'님께서 학부모 교육칼럼에 작성해주신 글( ☞ 바로가기 )을 운영자가 옮겨놓은 글입니다. 좋은 정보를 공유해주신 '유심조(mathgeo)'님께 감사의 인사를 올립니다.

 

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제목 : 중등 KMO를 준비한다면..

작성 : 유심조(mathgeo)

 

몇 일전 중학 2년생의 한 학생이 찾아왔습니다. 전교 2%의 레벨이고 10-상,하까지 마스터 했다고 하면서 말이죠!! 그런데 문제가 되는 것이 기하파트라고 합니다. 그러면서 개인적으로 도움을 바란다면서 부탁을 하더군요!! 그래서 몇 가지를 시험삼아 지도해봤더니 아직은 미완성이었습니다.

이 학생이 지망하는 학교는 상산고라면서 일반 전형의 두려움이 너무 커서인지 경시 과정에 자꾸 집착을 보이면서 KMO 동상을 목표로 한다는 말과 함께 열심히 한다고 말은 했지만 실제적으로 경시대회 벽이 얼마나 높은지 실감을 하지 못하는가봅니다.

10%의 인원이 경시대회 수상을 하지만 실제적으로 수상여부는 기하쪽에 달려 있음에도 불구하고 제가 앞서서 소개해드린 초등학년의 기하 파트의 영역관계를 전혀 인식을 하지 못합니다. 중등 과정및 고등 기본 정석과정은 딱 내신용 실력이라고 느꼈지만 학생의 의지와 열성을 꺽을 수도 없고 답답했었죠!!

그런데 위와 같은 학생들이 상당수가 될 것이란 것을 알지만 실제적으로 어떤 방법으로 경시 과정을 준비하고 또 어떤 레벨들과 붙어야 하는지를 잘 인식들을 못합니다.

단순히 특목고에서 경시 가산점을 주는 2011년도까지는 유효하니 무조건 학습을 하겠다는 식이 대부분일겝니다. 선행과정 만으로 공부한다치면 경시 과정 별로 효과 없습니다. 무작정 따라하기는 일반 과정과 달리 경시과정에서는 쓸모도 없으니까요..

경시 과정 하면 의례히 대수, 해석, 조합, 기하 순으로 공부들을 하긴 하는데 앞선 부분은 맹렬히 참으로 맹렬히 공부를 합니다. 하지만 벽으로 작용 하는 것이 바로 기하파트인데요. 대개의 학생들은 일반 수식 정형화에 몰입이 된 나머지 기하의 ABC만 나와도 복잡하다고 생각합니다. 그러다 보니 참으로 답답합니다. 그레서 최소한의 정리와 증명 정도는 알아야 하지 않나 싶어 글을 쓰게 됩니다. 대개의 영재 교육원에서도 이러한 방향으로 진행 할 것이므로 포인트를 그 쪽에 맞추어 보겠습니다..

@기하파트 정리 증명 이것만은 알아두자@

중등 도형에서 다루지 않은 내용은 없다.하지만 사람 이름들이 등장하는 정리 증명은 마스터 하자. 그러면 매우 짭짤하다..

도형편에서 삼각형이 차지하는 비중이 상당히 높습니다. 특히, 삼각형의 오심을 구심점으로 하여 경시 대회 빈도가 높게 나타나는 것은 중등 교과서의 증명 방법이 너무 평이하거나 학생들이 생각하기에 너무 어려운 경우를 주로 다루다 보니 증명의 접근 방법을 다양화 하여 사고의 깊이를 확대하자라는 의미일 것입니다.

먼저 외심, 내심, 방심의 기본정리부터 이에 따른 수심 삼각형,수족 삼각형의 정의와 성질 이해하는 일에 무게 중심과 수심의 정의,성질 이해하면서 정리나 증명관계에서 자주 나타나는 공선점과, 공점선의 성질을 갖는 도형 파악 그리고 이에 따른 메네라우스 정리와 체바의 정리를 증명법에 따라 다르지만 적어도 4가지씩의 정리증명법을 학습해야 합니다. 대부분 가장 쉽게 생각하는 게 넓이를 이용한 증명법을 선택하는 경우가 많은 데 실제로 출제는 평행선의 성질을 이용한 경우가 더 많아 보입니다.

이제 두사람 나왔죠!^^ 이 두양반 다음에 나오는 분들이 파푸스와 스튜어트란 분이죠. 중선 정리에 대한 일반화한 증명법이 소개되어 집니다. 여기에 삼각형의 성질 파악에 덧붙이다보면 카르노란 양반하고 몰리란 양반들이 등장하면서 복잡성을 더하는 데 몰리의 정리 증명은 다소 어려워 글쎄요 잘 나오지는 않을 겝니다. 으~ 벌써 6명째입니다.

삼각형과 연계해서 사각형에서의 중점 연결정리를 하다보면 바리논의 평행사변형이 등장하고 브라마굽타의 공식이 나옵니다. 아차 로버트와 듀란드의 문제도 있군요..이들 증명법은 수학사의 고전에 해당하는 바 고전의 유형도 알아보시는 게 좋습니다.

위의 경우가 삼각형과 사각형에서 행해져야할 기본적인 정리 증명이라 생각합니다.
원에 따른 원주각의 크기를 이용한 접현정리와 내외접에 따르는 방멱의 정리,각의 이등분선에 관련된슈타이너 레므스의 정리,다면체의 톨레미의 정리, 외접원의 임의의 한점에 연관된 심슨정리등이 뒤따릅니다. 아차차.. 데자르그의 정리와 브리앙송 그리고 파스칼의 정리 또한 잊지 마시고 학습을 해두어야 합니다.

너무 많이 열거 한거 아닌가 할 겝니다. 하지만 이정도의 정리 증명을 거치셔야 경시 기하는 어느 정도 해두었다고 본인은 생각합니다. 겁먹을 것도 없고 그렇다고 얼렁 뚱당 지나가서도 않되고 자세한 설명을 하자니 복잡할 것 같아서 학생들이 스스로 이들의 정리가 어떤 것과 연관 되어 있는 지 인터넷을 뒤지시던지 선생님들게 여쭈어 보던지 해야 하겠죠...

여름방학이 이제 보름도 안남은 것 같군요.. 학생들은 학생들 대로 학부형은 학부형 대로 다 힘든 것은 마찬가지 입니다. 항상 드리는 말씀입니다. 다그치지 마시고 한번 쯤 학부형들이 글을 읽으 신 후 우리 아이가 저런 것들도 알고 있나 짐짓 모른채 물어 보시는 것도 학생들의 사기 저하와는 관계 없이 좋을 것입니다..

각 도 교육청에서 조례가 발표 되고 있습니다.. 10시까지 학원 수업 한다. 9시까지이다. 규제를 내놓고 있는 데 규제대로 움직이면 사실 학원 보다는 그동안 학부형들이 학원만 믿고 너무 방치되어져 버린 학생들이 문제입니다. 보충이다 뭐다 해서 짐짓 이 정도 실력을 나타냈는 데 이제 떨어지면 어떡하지..;;
과외로 전환도 고려 하실텐데요.. 중2까지는 괞찮습니다. 하지만 중3부터는 다소 무리겠죠.. 모쪼록 건강하고 풍성한 여름방학의 대미를 장식하세요...