[공부] 과목별 공부법

2 고교 수학 내용의 패턴

 

그렇다고 고교 수학이 무턱대고 어려운 것은 아닙니다. 고교 수학의 내용도 패턴이 있습니다. 이를  위해 먼저 교과 내용을 알아 보겠습니다.

 

 이과 수학을 기준으로 하면 고교 수학은 크게 6권으로 이루어집니다(다음에서의 고등수학은 고1학년 수학으로 원래 한 권인데 양이 많아 일반적으로 참고서나 문제집은 1,2학기를 상,하권으로 나눠 구성됩니다) 대략 학기별로 1학년 1학기(1-1) 고등수학 상, 1-2 고등수학 하, 2-1 수I, 2-2 수II, 3-1 적분과 통계, 3-2 기하와 벡터로 구성됩니다(원래는 학기에 대응되는 것이 아닌 이수학점의 개념이지만 그냥 학기로 맞춰 설명합니다. 적분과 통계, 기하와 벡터는 순서를 바꿔서 배우기도 합니다) 각각의 과목 내용을 살펴보겠습니다. 문과의 경우 수I을 배운 뒤에 미적과 통계 기본이라는 한 과목만 더 배우면 됩니다 (즉 4권으로 끝나는 것이지요) 크게 보면 다음과 같이 배웁니다.  

 

고등수학 상 - 집합 명제, 식의 연산과 복소수, 2-3차와 연립 방정식과 부등식

고등수학 하 - 직선과 원 방정식, 이차함수, 삼각함수 기본, 경우수 계산(순열 조합)

수 I - 행렬, 지수, 로그, 수열

수 II - 고차방정식, 삼각함수 연산, 극한, 미분법

적분과 통계 - 적분법, 순열조합, 확률, 확률분포

기하와 벡터 - 일차변환, 이차곡선, 공간좌표와 벡터    

(문과 미적과 통계 기본 - 극한, 다항함수 미분과 적분, 확률, 확률분포)

 

 

대표적 문제집인 쎈의 목차를 보면 다음과 같습니다.

 

1) 1-1학기 고등수학 상 - I. 집합과 수체계 II. 식과 그 연산 III. 방정식과 부등식

01 집합의 연산법칙 02 명제 03 실수와 복소수 04 다항식과 나머지정리 05 인수분해, 약수와 배수 06 유리식과 무리식 07 이차방정식 08 고차방정식과 연립방정식 09 부등식 10 절대부등식

 

2) 1-2 고등수학 하 - Ⅳ. 도형의 방정식 Ⅴ. 함 수 Ⅵ. 삼각함수 Ⅶ. 순열과 조합

11 평면좌표와 직선의 방정식 12 원의 방정식 13 도형의 이동 14 부등식의 영역 15 함수 16 이차함수의 활용(1) 17 이차함수의 활용(2) 18 유리함수와 무리함수 19 삼각함수 20 삼각함수의 그래프 21 삼각형에의 응용 22 순열과 조합

 

3) 2-1 수I -  I. 행렬과 그래프 Ⅱ. 지수함수 Ⅲ. 로그함수 Ⅳ. 수 열 Ⅴ. 수열의 극한

01 행렬과 그 연산 02 역행렬과 연립일차방정식의 풀이 03 그래프와 행렬 04 지 수 05 지수함수 06 로 그 07 로그함수 08 등차수열과 등비수열 09 여러 가지 수열 10 수학적 귀납법과 순서도 11 무한수열의 극한 12 무한급수

 

4) 2-2 수II -  I. 방정식과 부등식 Ⅱ. 삼각함수 Ⅲ. 함수의 극한과 연속 Ⅳ. 미분법

01 방정식 02 부등식 03 삼각함수의 덧셈정리와 삼각방정식 04 함수의 극한(1) 05 함수의 극한(2) 06 함수의 연속 07 미분계수와 도함수 08 여러 가지 함수의 미분법 09 도함수의 활용(1) 10 도함수의 활용(2) 11 도함수의 활용(3)

 

5) 3-1 적분과 통계 -  I. 적분법 Ⅱ. 순열과 조합 Ⅲ. 확 률 Ⅳ. 통 계

01 부정적분 02 여러 가지 함수의 적분법 03 정적분 04 정적분의 활용 05 순열과 조합 06 이항정리 07 확률의 뜻과 활용 08 조건부 확률 09 확률분포 10 정규분포 11 통계적 추정

 

6) 3-2 기하와 벡터 -  I. 일차변환과 행렬 Ⅱ. 이차곡선 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 Ⅳ. 벡터

01 일차변환과 행렬 02 일차변환의 합성과 역변환 03 포물선 04 타원 05 쌍곡선 06 공간도형 07 공간좌표 08 벡터와 그 연산 09 벡터의 내적 10 직선과 평면의 방정식

 

 고교 수학 내용의 2/3 이상을 식과 함수가 차지하는 데 여기에는 다항식, 분수식, 무리식, 절댓값, 가우스함수, 삼각함수, 지수, 로그 등이 있습니다. 이들을 고교 수학의 주된 유형(패턴)이라 하겠습니다. 고교 수학에서는 하나의 개념을 배우면 유형마다 그를 적용하게 됩니다.

 

 가령 구간 내 최대 최소의 개념을 배우면 유형별로 한 번씩 적용하게 됩니다. 방정식을 배워도 위 유형별로 적용하게 되고, 미적분도 마찬가지입니다(다행인 것은 미적분 부터는 가우스 함수는 잘 안 나옵니다) 위와 다른 속성을 가진 부분으로는 벡터 행렬 수열 확률 통계 등이 있습니다. 벡터 행렬에도 위의 내용이 적용될 수는 있지만 문제가 힘들어져 단순한 것만 적용됩니다(대학에서는 벡터 미적분이 중요한 공부거리가 됩니다) 확률 통계는 귀납법이 강한 부분이어서 자기만의 독특한 유형을 가진 문제가 많습니다.

 

 

학생들이 수학을 공부할 때 ‘잘 모르겠다’고 하는 것은 개념 그 자체보다 이렇게 유형별로 적용될 때 어떻게 적용하는가 부분을 잘 모르는 경우가 많습니다(예: 이차 부등식은 풀어도 삼각 부등식은 어려워함). 이는 문제를 해결하기 위해서는 개념 뿐만 아니라 각 유형들의 특성도 잘 알아야 하는데 이 부분이 약할 때가 많습니다.

 

 그나마 다행인 것은 수학을 꾸준히 공부하다 보면 각 유형들의 특성이 반복적으로 공부되면서 점차 이해되어 간다는 것입니다. 처음에는 삼각부등식이 어려워보이지만 나중에는 사인 코사인 함수의 관계, 원의 방정식과 삼각함수의 관계, 주기 함수와 삼각 함수의 관계, 삼각 함수의 덧셈과 곱셈 등도 다 알게 되면서 삼각 부등식도 풀 수 있게 되는 것입니다.

 

이런 수준에 도달한 학생은 다른 과목보다 도리어 수학이 쉽다고 말합니다. 참고로 고교에서는 이렇게 말하는 학생도 대학에 가면 배우는 수학 내용이 다시 확장되기 때문에 어려워 합니다. 웬 정리와 새로운 함수, 계산법이 이다지도 많은가, 수학은 푸는 것이 아니라 외우는 것인가라는 생각도 한답니다. 하여간 수학은 일정 수준에 다다르면 공부하기 쉬워지며 그 때까지 꾸준히 공부하는 것이 중요합니다.